$\sum _{n=1}^{\infty }{x}^3{e}^{-nx}$

Verifichiamo la condizione necessaria.

Se x=0 la serie si annulla.

Se x>0 , il $\underset{n\to +\infty }{lim}{x}^3{e}^{-nx}=x^3\underset{n\to +\infty }{lim}{e}^{-nx}=0$ ed è verficata la condizione necessaria.

Se x<0, il $\underset{n\to +\infty }{lim}-x^3{e}^{n\mid x\mid }=-\infty$ e non è verficata la condizione necessaria.

Consideriamo ora x> 0 e il limite:

$\underset{n\to \infty }{lim}{n}^2{x}^3{e}^{-nx}=\underset{n\to \infty }{x^{3}lim}\frac{n^2}{e^{\mathrm{nx}}}=0$

(dove si è fatto uso del limite notevole: $\underset{n\to \infty }{lim}{x}^{\alpha }{e}^{-x}=0$ con α>0).

Quindi, da un certo punto in poi,: $n^2{x}^3{e}^{-nx}<1\to x^3{e}^{-nx}<\frac{1}{n^2}$

Poichè la serie armonica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, per il criterio di Weierstrass, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{x}^3{e}^{-nx}$ converge totalmente per x> 0 e quindi anche uniformemente.