$\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{n}\right)e^{\frac{n}{x}}$

Se x=0 i termini della serie non sono definiti.

Se x>0, poichè: $\underset{n\to \infty }{lim}\left(1-\frac{x}{n}\right)e^{\frac{n}{x}}=-\infty$ non è soddisfatta la condizione necessaria e quindi la serie data non converge.

Se x<0, $\underset{n\to \infty }{lim}{e}^{\frac{n}{x}}·\left(1-\frac{x}{n}\right)=0$ ed è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza puntuale.

Consideriamo ora, per x<0, il limite:

$\underset{n\to +\infty }{lim}{n}^2·e^{-\frac{n}{\mid x\mid }}·\left(1+\frac{\mid x\mid }{n}\right)=\underset{n\to +\infty }{lim}{n}^2{e}^{-\frac{n}{\mid x\mid }}+\mid x\mid \underset{n\to +\infty }{lim}n·e^{-\frac{n}{\mid x\mid }}=0$

(dove si è fatto uso del limite notevole: $\underset{n\to \infty }{lim}{x}^{\alpha }{e}^{-x}=0$ con α>0).

Quindi da un certo punto in poi $n^2·e^{-\frac{n}{\mid x\mid }}·\left(1+\frac{\mid x\mid }{n}\right)<1\to e^{-\frac{n}{\mid x\mid }}·\left(1+\frac{\mid x\mid }{n}\right)<\frac{1}{n^2}$.

Poichè la serie armonica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, per il criterio di Weierstrass, anche la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{\frac{n}{x}}·\left(1-\frac{x}{n}\right)$ converge totalmente e quindi uniformemente per x<0