Per un certo x∈ℝ la successione è una successione numerica a segni alterni.
Se x=0 la serie diventa: che è la serie armonica a segni alterni la quale converge.
Se x≠0
Poichè:
sono soddisfatte le due condizioni del Criterio di Leibniz per le serie di segno alterno e la serie data converge puntualmente.
Osserviamo che:
E poichè la serie armonica non converge allora la serie data non converge assolutamente.
Per avere la convergenza totale occorre trovare una serie numerica convergente tale che (criterio di Weierstrass) . Ma se è valida questa disuguaglianza termine a termine deve essere valida anche la disuguaglianza: . Come visto prima questa serie di funzioni non è convergente e quindi non lo può essere neanche quella numerica. Si deduce che la serie data non converge totalmente.
È ancora possibile la convergenza uniforme.
Per la convergenza uniforme consideriamo l'intervallo [a,b]⊂ℝ. Si ha che deve essere :
Per valutare l'estremo superiore delle fn(x) possiamo considerare la derivata: che si annulla in x=0 ma a questo valore delle x corrisponde il minimo, infatti le funzioni fn(x) sono parabole con vertice sull'asse delle ordinate. Allora l'estremo superiore sarà invece il massimo tra i due estremi a e b . Per esempio se b>a, si ha:
Si può osservare infatti che il resto tende a zero per n→∞ perchè questo si riduce all'ultimo termine. Quindi la serie converge uniformemente negli intervalli chiusi e limitati di ℝ.
In basso dei grafici che illustrano la convergenza uniforme ma non assoluta.
La serie di funzioni e la somma parziale fino n=100 |
La serie funzioni e la somma parziale fino n=10 |
La serie dei valori assoluti e la somma parziale fino n=10 (tratteggio) e n=100 (linea spessa) |