Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie di funzioni:

n = 1 ( 1 ) n · x 2 + n n 2

Per un certo x∈ℝ la successione f n ( x ) = ( 1 ) n · x 2 + n n 2 è una successione numerica a segni alterni.

Se x=0 la serie diventa: n = 1 ( 1 ) n · 1 n che è la serie armonica a segni alterni la quale converge.

Se x≠0

Poichè:

  1. lim n + x 2 + n n 2 = 0
  2. x 2 + ( n + 1 ) ( n + 1 ) 2 = x 2 ( n + 1 ) 2 + 1 n + 1 x 2 n 2 + 1 n

sono soddisfatte le due condizioni del Criterio di Leibniz per le serie di segno alterno e la serie data converge puntualmente.

Osserviamo che:

n = 1 ( 1 ) n · x 2 + n n 2 = n = 1 x 2 + n n 2 = x 2 n = 1 1 n 2 + n = 1 1 n

E poichè la serie armonica non converge allora la serie data non converge assolutamente.

Per avere la convergenza totale occorre trovare una serie numerica convergente tale che x 2 n 2 + 1 n M n (criterio di Weierstrass) . Ma se è valida questa disuguaglianza termine a termine deve essere valida anche la disuguaglianza: n = 1 x 2 + n n 2 n = 1 M n . Come visto prima questa serie di funzioni non è convergente e quindi non lo può essere neanche quella numerica. Si deduce che la serie data non converge totalmente.

È ancora possibile la convergenza uniforme.

Per la convergenza uniforme consideriamo l'intervallo [a,b]⊂ℝ. Si ha che deve essere :

lim n sup x [ a , b ] f ( x ) s n ( x ) = lim n sup x [ a , b ] k = n + 1 ( 1 ) k · x 2 + k k 2

Per valutare l'estremo superiore delle fn(x) possiamo considerare la derivata: f k ' ( x ) = ( 1 ) k 2 · x k 2 che si annulla in x=0 ma a questo valore delle x corrisponde il minimo, infatti le funzioni fn(x) sono parabole con vertice sull'asse delle ordinate. Allora l'estremo superiore sarà invece il massimo tra i due estremi a e b . Per esempio se b>a, si ha:

lim n sup x [ a , b ] f ( x ) s n ( x ) = lim n k = n + 1 ( 1 ) k · b 2 + k k 2 = 0

Si può osservare infatti che il resto tende a zero per n→∞ perchè questo si riduce all'ultimo termine. Quindi la serie converge uniformemente negli intervalli chiusi e limitati di ℝ.

In basso dei grafici che illustrano la convergenza uniforme ma non assoluta.

La serie di funzioni e la somma parziale fino n=100

10

La serie funzioni e la somma parziale fino n=10

10b

La serie dei valori assoluti e la somma parziale fino n=10 (tratteggio) e n=100 (linea spessa)

10d