Se si pone $x=\frac{1}{n}$ , quando n→+∞ , x→0⁺. Si possono considerare allora gli sviluppi di Taylor in x=0 e poter studiare la successione dei termini della serie quando n→+∞.

$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\to 1-e^{-x}=x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$

$\cos \left(1-e^{-x}\right)=1-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)}^2+o\left(x^3\right)=1-\frac{1}{2}(x^2-x^3+\frac{x^4}{4}+o\left(x^3\right))+o\left(x^3\right)=1-\frac{x^2}{2}+x^3-\frac{x^4}{8}+o\left(x^3\right)$

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^4\right)$

$\frac{1}{2}·{\tan }^{2}x=\frac{1}{2}·{\left(x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^4\right)\right)}^2=\frac{1}{2}·(x^2+\frac{2}{3}{x}^4+o\left(x^5\right))=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{3}{x}^4+o\left(x^5\right)$

$\mid \cos \left(1-e^{-x}\right)+\frac{1}{2}·{\tan }^{2}x-1\mid =\mid 1-\frac{x^2}{2}+x^3-\frac{x^4}{8}+o\left(x^3\right)+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)-1\mid ={\mid x\mid }^3+o\left(x^3\right)$

Quindi da un certo punto in poi la successione $a_k=n^{\alpha }\mid \cos \left(1-e^{-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right.}\right)-\frac{1}{2}·{\tan }^2\left(\frac{1}{n}\right)-1\mid$ e la successione $b_k=n^{\alpha }·\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{n^{3-\alpha }}$ sono equigrandi e il comportamento delle corrispondenti serie coincide.

La serie $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{3-\alpha }}$ è una serie armonica generalizzata che converge se $3-\alpha >1\to \alpha <2$ è la condizione per la convergenza della serie data.