Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:

n = 1 ( 1 ) n n e n x


Posto t = e x con t ≥ 0 si ricava una serie di potenze: n = 1 ( 1 ) n n t n

Il raggio di convergenza è:

R = lim n + ( 1 ) n + 1 n + 1 ( 1 ) n n = lim n + n n + 1 = lim n + 1 1 + 1 n = 1

Per t=1 si trova la serie numerica:

n = 1 ( 1 ) n n

che è una serie a termini alterni. Poichè (Criterio di Leibniz):

  1. lim n + 1 n = 0
  2. 1 n + 1 1 n ∀ n∈ℕ

Allora la serie converge puntualmente e assolutamente ∀t∈ [0,1] e converge uniformemente ∀t∈ [0,r] ⊂ [0,1].

Non converge per t∈[1,+∞[.

Passando alle x, x= ln(t), , la serie data converge puntualmente e assolutamente ∀ x∈]-∞,0] e uniformemente ∀x∈]-ln(r),+ln(r)[ con 0<r<1

Nel grafico la successione delle funzioni e le loro somme ridotte per n= 10 (rosso), n=50 (blu) e n=100 (nero)

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