$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(1+2n\right)}^2{x}^{2n}$

Posto $t=x^2$ la serie diventa una serie di potenze: $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(1+2n\right)}^2{t}^n$ con t∈ℝ⁺

Il raggio di convergenza è : $R=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(1+2\left(n+1\right)\right)}^2}{{\left(1+2n\right)}^2}=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{1+2n+2}{1+2n}\right)}^2=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{2}{1+2n}\right)}^2=1$

Per t= 1 si ha:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(1+2n\right)}^2=+\infty$

la serie non converge.

Allora la serie converge puntualmente e assolutamente ∀t∈ [0,1[ e converge uniformemente ∀t∈ [0,r] ⊂ [0,1[

Non converge per t∈[1,+∞[.

Passando alle x, la serie data converge puntualmente e assolutamente ∀ x∈]-1,1[ e uniformemente ∀x∈]-√r,+√r[ con 0<r<1.