Studiare, al variare di x∈ℝ, la convergenza della serie:

n = 1 ( 1 + ln n ) e nx      


Posto t = e x la serie diventa una serie di potenze : n = 1 ( 1 + ln n ) t n (con t≥0)

Il raggio di convergenza è : R = lim n 1 + ln ( n + 1 ) 1 + ln n = 1

Per t=1 si ha: n = 1 ( 1 + ln n ) e si vede subito che la serie non converge.

Allora la serie converge puntualmente e assolutamente ∀t∈ [0,1[ e converge uniformemente ∀t∈ [0,r] ⊂ [0,1[

Non converge per t∈[1,+∞[.

Passando alle x, x= ln(t), , la serie data converge puntualmente e assolutamente ∀ x∈]-∞,0[ e uniformemente ∀x∈]-ln(r),+ln(r)[ con 0<r<1


Nel grafico i primi 500 termini della serie e le somme parziali per n=10 (giallo), n= 50 (blu), n=100 (rosso) e n= 500 (nero)

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Nel grafico le somme parziali per n= 50(marrone), n= 100 (rosso), n=500 (verde) e n= 1000 (blu)

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