N. 7 SERIE DI POTENZE

Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{n}}{(2^{n} + n) x^{n}}$

Posto t=1/x si ricava la serie di potenze:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{n}}{(2^{n} + n)} \cdot t^{n}

Il raggio di convergenza è: $R = lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{\frac{{(n + 1)}^{n}}{2^{n} + n}} = lim_{n \to + \infty} \frac{n + 1}{\sqrt[n]{2^{n} + n}} = + \infty$

Quindi la serie non converge.

Grafico della successione delle funzioni fino n=100 e delle somme parziali per n=10 (rosso), n=50 (blu), n=100 (nero)