Posto $e^x=t$ la serie diventa una serie di potenze: $\sum _{n=0}^{\infty }\left(1+\arctan \left(n\right)\right)t^n$.

Applicazione del criterio del rapporto per trovare il raggio di convergenza: $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1+\arctan \left(n+1\right)}{1+\arctan \left(n\right)}=\frac{1+\frac{\pi }{2}}{1+\frac{\pi }{2}}=1$

Se t∈]0,1[→ la serie converge assolutamente e puntualmente in ]-∞,0[ e uniformemente in ]a,b[⊂]-∞,0[

Se t=1→x=0, la serie non converge perchè non è soddisfatta la condizione necessaria: $\underset{n\to \infty }{lim}\left[1+\arctan \left(n\right)\right]=1+\frac{\pi }{2}$

Se t∈]1,+∞[ →x∈]0,+∞[ la serie non converge.