RELAZIONI E FUNZIONI

1. Dire se le seguenti sono funzioni, e se lo sono dire se sono iniettive, suriettive o biiettive:

• f:A → B       f:x → x + 1            A={1,2,3}      B={2,3,4}
• f:A → B       f:x → x - 1             A={1,2,3}       B={0,1,2,3,4}
• f:A → B       f:x → x ² -1             A={1,2,3}       B={2,3,4}
• f:A → B       f:x → x ²             A={1,2,3}       B={2,3,4}
• f:A → B       f:x → x ²             A={-4,-2,0,2,4}       B={16,4,0}
• f:A → B       f:x → x ²             A={-4,-2,0}       B={16,4,0}
• f:A → B       f:x → x ²            A={-4,-2}       B={16,4,0}
• f:A → B       f:x → x ²             A={-4,-2,0}       B={16,4}
• f:A → B       f:x → -x ² +1             A={-1,0,1}       B={0,1}
• f:A → B       f:x → -x ² +1             A={1,2,3}       B={0,-3}
• f:A → B       f:x → -x ² +1            A={0,1,2}       B={-3,0,1}
• f:A → B       f:x → -x ² +1             A={-1,0,1,2}       B={-3,0,1}
• f:A → B       f:x → x ³             A={-1,0,1}      B={-1,0,1}
• f:A → B       f:x → x ³             A={-1,0,1}      B={-1,0}
• f:A → B       f:x → x ³             A={-1,0}       B={0,2}
• f:A → B       f:x → x ³             A={-1,0,1}       B={0,1,2}
• f:A → B       f:x → -2x ² +2             A={-1,0,1}       B={0,2}
• f:A → B       f:x → -2x ² +2             A={-1,0,1}       B={0}
• f:A → B       f:x → -2x ² +2             A={-1,0}       B={0,2}
• f:A → B       f:x → -2x ² +2             A={-1,0,1}       B={0,1,2}

2. Dati x, y ∈ ℕ , considera la relazione: " x R y se y è il doppio di x , aumentato di uno" : se x = 1, quanto vale l' y corrispondente? E se x = 8? E se x = 13? Se y = 5, quanto vale l' x corrispondente? E se y = 6? La relazione è una funzione? Se si è biettiva ?
   
   
3. Siano f; g : ℝ → ℝ due funzioni lineari definite rispettivamente da f ( x ) = 5 - x e g ( x ) = 20 - 3x . Calcolare f ∘g , g∘f e f∘f . Calcolare le funzioni inverse f ^-1 e g^-1 .
   
   
4. Trova il dominio delle funzioni:

1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^2+1}$;    b. f(x) = $\sqrt{1+x}+\sqrt{2-x}$;     c. $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x+2}}$;     d. $f\left(x\right)=\frac{x+\sqrt{4+x}}{\sqrt{8-x}}$

5. Nell’insieme dei numeri pari ℘ è definita la relazione R : ℘ → ℘ che associa a ogni a ∈ ℘ il suo successivo pari b . Individuare tra le coppie ( -2; 4), ( -2; - 4), (4; 4), (6;4), (-2;0), (8;4), (10;12), (-8;-6) quali coppie sono elementi di R e quali coppie sono elementi di R^-1.
   
   
6. Individua l’espressione matematica della funzione f : ℝ → ℝ che associa a ogni numero reale il quadrato della somma tra 1 e il numero stesso. Poi:

1. Rappresenta tale funzione in un diagramma cartesiano.
2. Stabilisci se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.
3. Indica possibili sottoinsiemi di partenza e di arrivo, affinché la funzione risulti invertibile.
4. Rappresenta nello stesso diagramma il grafico della funzione inversa

7. Individua le proprietà delle seguenti relazioni:

1. In un insieme di persone x ha gli stessi genitori di y
2. Nell'insieme dei poligoni del piano x ha la stessa area di y
3. Nell'insieme delle parole del vocabolario della lingua italiana x ha un numero di lettere minore di y
4. In ℕ x divide y