Statistica N° 11

Occorre che sia soddisfatta l'uguaglianza: $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) ⅆ x = 1$ .

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) ⅆ x = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{a}{\sqrt{x}} ⅆ x = 1 \Rightarrow a {[2 \sqrt{x}]}_{0}^{1} = 1 \Rightarrow 2 a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

Studio della funzione f(x)= ${\begin{matrix} \frac{1}{2 \sqrt{x}} & 0 < x \leq 1 \\ 0 & x > 1 \end{matrix}$

Lo studio della funzione è molto semplice; è simile ad una relazione di proporzionalità inversa nell'intervallo 0 < x ≤ 1 . Per x > 1 è una funzione nulla.

La funzione di ripartizione è definita dalla relazione: $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) ⅆ t$ . In questo caso:

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) ⅆ t = \int_{0}^{x} \frac{1}{2 \sqrt{t}} ⅆ t = \sqrt{x}

$p (x \leq 0.25) = F (0.25) = \sqrt{0.25} = 0.5$

$p (x > 0.8) = 1 - p (x \leq 0.8) = 1 - F (0.8) = 1 - \sqrt{0.8} ≃ 0.10557$