Esercizi di Statistica N° 7

La condizione perché una funzione rappresenti una densità di probabilità è: $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) ⅆ x = 1 \to \int_{- \infty}^{+ \infty} a e^{- \frac{| x - 2 |}{2}} ⅆ x = 1 \to a = \frac{1}{\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{| x - 2 |}{2}} ⅆx}$

La funzione $e^{- \frac{| x - 2 |}{2}}$ scritta per intervalli è: $e^{- \frac{| x - 2 |}{2}} = {\begin{matrix} e^{- \frac{x - 2}{2}} & x \geq 2 \\ e^{\frac{x - 2}{2}} & x < 2 \end{matrix}$ .
Sostituita nell'integrale definito questo diventa: $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{| x - 2 |}{2}} ⅆ x = \int_{- \infty}^{2} e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x$
Calcolo degli integrali indefiniti: $\int e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 \int e^{u} ⅆ u = 2 e^{u} + C = 2 e^{\frac{x - 2}{2}} + C$ e $\int e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = - 2 \int e^{u} ⅆ u = - 2 e^{u} + C = - 2 e^{- \frac{x - 2}{2}} + C$
Quindi: $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{| x - 2 |}{2}} ⅆ x = \int_{- \infty}^{2} e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = {[2 e^{\frac{x - 2}{2}}]}_{- \infty}^{2} + {[- 2 e^{- \frac{x - 2}{2}}]}_{2}^{+ \infty} = (2 e^{\frac{2 - 2}{2}} - \underset{x \to - \infty}{l i m} 2 e^{\frac{x - 2}{2}}) + (\underset{x \to + \infty}{l i m} - 2 e^{- \frac{x - 2}{2}} + 2 e^{- \frac{2 - 2}{2}}) = 2 + 2 = 4$
Da cui a= 1/4.

Rappresentazione grafica di f(x) ${= \frac{1}{4} \cdot e}^{- \frac{| x - 2 |}{2}} = \frac{1}{4} \cdot {\begin{matrix} e^{- \frac{x - 2}{2}} & x \geq 2 \\ e^{\frac{x - 2}{2}} & x < 2 \end{matrix}$

Campo di esistenza. ∀x ∈ R
Continuità. f₊(2)= 1/4 e f_-(2)= 1/4 $\underset{x \to 2^{-}}{l i m} e^{\frac{x - 2}{2}} =$ 1/4
Segno della funzione . f(x) > 0 ∀x ∈ R
Intercetta. f(0)= 1/e ≃ 0.368
Asintoto orizzontale. $\underset{x \to - \infty}{l i m} e^{\frac{x - 2}{2}} = \underset{x \to + \infty}{l i m} e^{- \frac{x - 2}{2}} = 0$ . L'asse delle ascisse è asintoto orizzontale.
Estremi. f'(x) $= \frac{1}{8} \cdot {\begin{matrix} {- e}^{- \frac{x - 2}{2}} & x \geq 2 \\ e^{\frac{x - 2}{2}} & x < 2 \end{matrix}$ . Non ci sono estremi ma in x=2 la derivata prima non è continua: f'₊(2)= -1/8 e f'_-(2)= 1/8 $\underset{x \to 2^{-}}{l i m} e^{\frac{x - 2}{2}} =$ 1/8

La formula del Valor Medio è: $M = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f (x) ⅆ x = \frac{1}{4} \cdot \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot e^{- \frac{| x - 2 |}{2}} ⅆ x = \frac{1}{4} [\int_{- \infty}^{2} x \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} x \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x]$ .

Calcolo degli integrali indefiniti.

$\int x \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x {\begin{matrix} F (x) = x & g (x) = e^{\frac{x - 2}{2}} \\ f (x) = 1 & G (x) = 2 e^{\frac{x - 2}{2}} \end{matrix} \Rightarrow \int x {\cdot e}^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 x \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} - 2 \int e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 x \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} - {4 e}^{- \frac{x - 2}{2}} = 2 e^{\frac{x - 2}{2}} (x - 2)$

$\int x \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x {\begin{matrix} F (x) = x & g (x) = e^{- \frac{x - 2}{2}} \\ f (x) = 1 & G (x) = - 2 e^{- \frac{x - 2}{2}} \end{matrix} \Rightarrow \int x {\cdot e}^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = - 2 x \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} + 2 \int e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = - 2 x \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} - {4 e}^{- \frac{x - 2}{2}} = - 2 e^{- \frac{x - 2}{2}} (x + 2$ )

Valor Medio: $M = \frac{1}{4} [\int_{- \infty}^{2} x \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} x \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x] = \frac{1}{4} {{[2 e^{\frac{x - 2}{2}} (x - 2)]}_{- \infty}^{2} + {[- 2 e^{- \frac{x - 2}{2}} (x + 2)]}_{2}^{+ \infty}} = \frac{1}{2} {[\underset{x \to - \infty}{l i m} {x \cdot e}^{\frac{x - 2}{2}}] - [\underset{x \to + \infty}{l i m} (x + 2) \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} - 4]} = \frac{1}{2} {0 - 0 + 4} = 2$
La formula della varianza è: $σ^{2} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) \cdot {[x - M]}^{2} ⅆ x = \frac{1}{4} [\int_{- \infty}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} {(x - 2)}^{2} \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x] = \int_{- \infty}^{2} {(\frac{x - 2}{2})}^{2} \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} {(\frac{x - 2}{2})}^{2} \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x$
Calcolo degli integrali indefiniti:

$\int {(\frac{x - 2}{2})}^{2} e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 \int u^{2} e^{u} ⅆ u {\begin{matrix} F (u) = u^{2} & g (u) = e^{u} \\ f (x) = 2 u & G (u) = e^{u} \end{matrix} \Rightarrow \int u^{2} e^{u} ⅆ u = u^{2} e^{u} - 2 \int u e^{u} ⅆ u$

$\int u e^{u} ⅆ u {\begin{matrix} F (u) = u & g (u) = e^{u} \\ f (x) = 1 & G (u) = e^{u} \end{matrix} \Rightarrow \int u e^{u} ⅆ u = u e^{u} - \int e^{u} ⅆ u = (u - 1) \cdot e^{u}$

$\int {(\frac{x - 2}{2})}^{2} e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 \int u^{2} e^{u} ⅆ u = 2 u^{2} e^{u} - 4 \int u e^{u} ⅆ u = 2 u^{2} e^{u} - 4 (u - 1) \cdot e^{u} = 2 (u^{2} - 2 u + 2) e^{u} = 2 [{(\frac{x - 2}{2})}^{2} - 2 (\frac{x - 2}{2}) + 2] e^{\frac{x - 2}{2}}$

$\int {(\frac{x - 2}{2})}^{2} e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 \int u^{2} e^{- u} ⅆ u {\begin{matrix} F (u) = u^{2} & g (u) = e^{- u} \\ f (x) = 2 u & G (u) = - e^{- u} \end{matrix} \Rightarrow \int u^{2} e^{- u} ⅆ u = {- u}^{2} e^{- u} + 2 \int u e^{- u} ⅆ u$

$\int u e^{- u} ⅆ u {\begin{matrix} F (u) = u & g (u) = e^{- u} \\ f (x) = 1 & G (u) = - e^{- u} \end{matrix} \Rightarrow \int u e^{- u} ⅆ u = - u e^{- u} + \int e^{- u} ⅆ u = - (u + 1) \cdot e^{- u}$

$\int {(\frac{x - 2}{2})}^{2} e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = 2 \int u^{2} e^{- u} ⅆ u = {- 2 u}^{2} e^{- u} + 4 \int u e^{- u} ⅆ u = - 2 u^{2} e^{- u} + 4 [- (u + 1) \cdot e^{- u}] = - 2 [{(\frac{x - 2}{2})}^{2} + 2 (\frac{x - 2}{2}) + 2] e^{- (\frac{x - 2}{2})}$

Calcolo della varianza: $σ^{2} (x) = \int_{- \infty}^{2} {(\frac{x - 2}{2})}^{2} \cdot e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{+ \infty} {(\frac{x - 2}{2})}^{2} \cdot e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x = {2 [{(\frac{x - 2}{2})}^{2} - 2 (\frac{x - 2}{2}) + 2] e^{(\frac{x - 2}{2})}}_{- \infty}^{2} + {- 2 [{(\frac{x - 2}{2})}^{2} + 2 (\frac{x - 2}{2}) + 2] e^{- (\frac{x - 2}{2})}}_{2}^{+ \infty} =$

$= {4 - \underset{x \to - \infty}{l i m} 2 [{(\frac{x - 2}{2})}^{2} - 2 (\frac{x - 2}{2}) + 2] e^{(\frac{x - 2}{2})}} + {- \underset{x \to + \infty}{l i m} 2 [{(\frac{x - 2}{2})}^{2} + 2 (\frac{x - 2}{2}) + 2] e^{- (\frac{x - 2}{2})} + 4} = 8$

La funzione di ripartizione è :

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (x) ⅆ x = {\begin{matrix} \frac{1}{4} [\int_{- \infty}^{2} e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x + \int_{2}^{x} e^{- \frac{x - 2}{2}} ⅆ x] = \frac{1}{2} {[e^{\frac{x - 2}{2}}]}_{- \infty}^{2} - \frac{1}{2} {[e^{- \frac{x - 2}{2}}]}_{2}^{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (e^{- \frac{x - 2}{2}} - 1) = - \frac{1}{2} e^{- \frac{x - 2}{2}} + 1 & x \geq 2 \\ \frac{1}{4} [\int_{- \infty}^{x} e^{\frac{x - 2}{2}} ⅆ x] = \frac{1}{2} {[e^{\frac{x - 2}{2}}]}_{- \infty}^{x} = \frac{1}{2} e^{\frac{x - 2}{2}} & x < 2 \end{matrix}