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Dopo aver determinato il dominio della funzione:
f( x ) ={ e -x perx ≤ 0 ln( x+1 ) per0<x<e
determinare:
  1. il grafico probabile della funzione;
  2. se è invertibile determina la sua funzione inversa se non lo è restringi opportunamente il dominio e determina la funzione inversa
  3. Individua in quale intervallo la funzione è crescente e in quale è decrescente
  4. Traccia il grafico di g( x ) =f( |x| ) e trova le eventuali intersezioni di g( x ) con h( x ) =ln( x-1 ) -1
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a. Grafico probabile:


b.  La funzione è invertibile se iniettiva e tra x= e-1 e x= e non lo è. Quindi la funzione è invertibile nell'intervallo ]-∞,e-1[.
     La funzione inversa è: f-1(x)={-ln(x)x<0ex-10≤x≤1f^{-1}(x)=\begin{cases} -\ln\left({x}\right) \qquad x < 0\\e^x-1\qquad 0 \le x \le 1 \end{cases}
c.  La funzione è decrescente in ]-∞, 0]  e crescente in ]0, e]
d. Grafico di g(x)= f(|x|) :


Grafico della funzione h(x) e della funzione g(x):


   Le due funzioni non hanno punti di intersezione.
In modo algebrico l'equazione: ln(x+1)=ln(x-1)-1\ln(x+1)=\ln(x-1)-1non ha soluzioni reali. Infatti: ln(x+1)=ln(x-1)-1⇒ln(x+1x-1)=-1⇒1e=x+1x-1⇒x-1=ex+e⇒x=1+e1-e\ln(x+1)=\ln(x-1)-1⇒\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=-1⇒\frac{1}{e}=\frac{x+1}{x-1}⇒x-1=ex+e⇒x=\frac{1+e}{1-e}che è un numero minore di zero.