Considera la seguente funzione:
f( x ) =2co s 2 x+cosx
  1. Trasformala in funzione lineare e determina il dominio, il codominio e il periodo
  2. Determina la sua eventuale parità e l'insieme in cui si annulla
  3. Determina i punti in cui f( x ) =1 e i punti in cui f( x ) =3
  4. Traccia i grafici probabili delle funzioni : f( x ) , g( x ) =f( |x| ) e h( x ) =|f( x ) | precisando se si tratta di funzioni periodiche e individuando, in caso affermativo, il periodo.

a. Applichiamo la formula di duplicazione del coseno: f(x)=2(cos2x+12)+cosx=cos2x+cosx+1f(x)=2\left(\frac{\cos \,2x+1}{2}\right)+\cos\,x=\cos\,2x+\cos\,x+1
Il dominio è   , per il codominio ricaviamo la funzione implicita: 2cos2x+cosx-y=0cosx=-1±1+8y42\,\cos^2\,x+\cos\,x-y=0⇒\cos\,x=\frac{-1±\sqrt{1+8\,y}}{4}
Per essere reale la variabile indipendente il discriminante della precedente equazione deve essere maggiore o uguale a zero: 1+8y0y-181+8y\ge 0⇒y \ge -\frac{1}{8}ma anche in questo caso il massimo valore del coseno deve essere  1:
 cosx=-1±1+8y41y3\cos\,x=\frac{-1±\sqrt{1+8\,y}}{4}\le1⇒y \le 3Allora il codominio è [-18,3][-\frac{1}{8},3]

Il periodo è 2π2 \pi perché è il  minimo comune multiplo tra il periodo di cos2x(π)\cos \, 2x\,\, (\pi)   e cosx(2π)\cos \, x\,\,(2\pi)

b. La funzione è pari: f(-x)=2cos2(-x)+cos(-x)=2cos2x+cosx=f(x)f(-x)=2\,\cos^2(-x)+\cos(-x)=2\,\cos^2\,x+\cos\,x= f(x)
 e si annulla nell'insieme che è soluzione dell'equazione goniometrica:

2cos2x+cosx=02\,\cos^2\,x+\cos\,x=0
Risolvendo l'equazione goniometrica si trova : x=π2+kπx=23π+2kπx=43π+2kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi\,\,∨\,\,x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\,\,∨\,\,x=\frac{4}{3}\pi+2k\pic. Risolviamo le equazioni goniometriche:
 {2cos2x+cosx=12cos2x+cosx-1=0x=π3+2kπx=53π+2kπx=π+2kπ2cos2x+cosx=32cos2x+cosx-3=0x=2kπ\begin{cases} 2\,\cos^2\,x+\cos\,x=1⇒2\,\cos^2\,x+\cos\,x-1=0⇒ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi∨x=\frac{5}{3}\pi+2k\pi∨x= \pi+2k\pi\\ 2\,\cos^2\,x+\cos\,x=3⇒2\,\cos^2\,x+\cos\,x-3=0⇒ x=2k\pi\end{cases}
d. Grafici :




Periodo 2π2 \pi


Periodo 2π2\pi
2 \pi
Periodo 2π2\pi