b. Per lo studio del segno occorre risolvere la disequazione goniometrica:

$$\sqrt{2}\,\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-1 \ge 0⇒\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}⇒\frac{\pi}{4}+2k\pi\le 2x+\frac{\pi}{4} \le \frac{3 \pi}{4}+2k\pi⇒2k\pi \le 2x \le \frac{\pi}{2}+2k\pi⇒k\pi\lex\le\frac{\pi}{4}+k\pi$$
c. Per poter essere invertibile occorre che la funzione sia iniettiva.
    Troviamo la funzione inversa: $$y=\sqrt{2}\,\sin\left({2x+\frac{\pi}{4}}\right)-1⇒\frac{y+1}{\sqrt{2}}=\sin\left({2x+\frac{\pi}{4}}\right)⇒2x+\frac{\pi}{4}=\arcsin\left(\frac{y+1}{\sqrt{2}}\right)⇒x=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{y+1}{\sqrt{2}}\right)-\frac{\pi}{8}$$

     La funzione arcsin è definita tra [-1,1]: $$-1 \le \frac{y+1}{\sqrt{2}}\le 1⇒\begin{cases} y+1\le\sqrt{2} ⇒y\le\sqrt{2}-1\\ y+1 \ge-\sqrt{2}⇒y \ge -1-\sqrt{2} \end{cases}⇒ -1-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}-1$$  
  A queste ordinate corrispondono le ascisse $x= -\frac{3\pi}{8}$  e $x=\frac{\pi}{8}$, quindi la restrinzione è data dall'intervallo $[-\frac{3\pi}{8},-\frac{\pi}{8}]$

d. La funzione g(x) si può scrivere:$$g(x)=\sqrt{2}\,\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\right]-1+1=\sqrt{2}\,\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{2}\,\cos\left({2x}\right)$$    La funzione g(x) è pari. Grafico: