N° 8 PROPRIETÀ FUNZIONI

f (x) = e^{| x | - x} + 2

trova il dominio, il codominio e il segno di f(x);

disegna il grafico di f(x) e di |f(x)| usando le trasformazioni geometriche; stabilisci se f(x) è una funzione monotòna in senso lato;

restringi il dominio in modo che f(x) sia invertibile e trova

f^{- 1} (x)

graficamente e algebricamente.

Traccia il grafico (insieme) di

h (x) = \frac{1}{f (x)}

g (x) = \frac{1}{6} (\frac{| x |}{x} + 1)

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a. Dominio:

ℝ

. La funzione può essere scritta per intervalli:

f(x)=\begin{cases} e^0+2=3 \quad\quad x\ge 0\\ e^{-2x}+2\qquad\quad x\le 0 \end{cases}

è evidente che il codominio è definito dall'intervallo [3, ∞[ perché la funzione esponenziale è definita positiva. Anche il segno è positivo in tutto il dominio di definizione.

b. Grafico di f(x):

Il grafico di |f(x)| è identico al grafico di f(x)

c. Escludendo y= 3 la funzione è invertibile in ]-∞, 0[ .
La funzione inversa è (deduzione algebrica):

y= \ln\left(\frac{1}{x-2}\right)^2

Mentre graficamente è la funzione simmetrica della f(x) rispetto la bisettrice del primo e terzo quadrante:

d. I grafici richiesti: