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Considera la funzione:
f( x ) = ax x+b
  1. Determina a e b in modo che abbia come asintoti le rette di equazioni x= -3 e y= 2
  2. Determina il suo dominio, il suo codominio e tracciarne il grafico probabile
  3. Giustifica perché la funzione è invertibile e determina l'espressione analitica della funzione inversa
  4. Traccia i grafici probabili delle funzioni g( x ) =f( |x| ) e h( x ) =|f( x ) |
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a. É evidente che b= +3 mentre quando x → ∞ , f(x) → a. Quindi a= 2.
     La funzione in oggetto è: f(x)=2xx+3f(x)=\frac{2x}{x+3}

b. Il dominio è x]-,-3[]-3,[x \in ]-\infinity,-3[ \cup ]-3, \infinity[ . Il codominio si trova ricavando la funzione inversa:

(x+3)y=2x3y=(2-y)xx=3y2-y\left(x+3\right)y=2x⇒ 3y=\left(2-y\right)x⇒x=\frac{3y}{2-y}    Da cui il codomino: y]-,2[]2,[y \in ]-\infinity,2[ \cup ]2, \infinity[Il grafico probabile:


c. La funzione è invertibile perchè iniettiva. La funzione inversa è: f-1(x)=3x2-xf^{-1}(x)=\frac{3x}{2-x}
d. Grafici probabili di g(x)=f(|x|) e di h(x)= |f(x)|: