LyX Document
Considera la funzione:
f
(
x
)
=
a
x
x
+
b
Determina a e b in modo che abbia come asintoti le rette di equazioni x= -3 e y= 2
Determina il suo dominio, il suo codominio e tracciarne il grafico probabile
Giustifica perché la funzione è invertibile e determina l'espressione analitica della funzione inversa
Traccia i grafici probabili delle funzioni
g
(
x
)
=
f
(
|
x
|
)
e
h
(
x
)
=
|
f
(
x
)
|
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a.
É evidente che b= +3 mentre quando x → ∞ , f(x) → a. Quindi a= 2.
La funzione in oggetto è:
f
(
x
)
=
2
x
x
+
3
f(x)=\frac{2x}{x+3}
b.
Il dominio è
x
∊
]
-
∞
,
-
3
[
∪
]
-
3
,
∞
[
x \in ]-\infinity,-3[ \cup ]-3, \infinity[
. Il codominio si trova ricavando la funzione inversa:
(
x
+
3
)
y
=
2
x
⇒
3
y
=
(
2
-
y
)
x
⇒
x
=
3
y
2
-
y
\left(x+3\right)y=2x⇒ 3y=\left(2-y\right)x⇒x=\frac{3y}{2-y}
Da cui il codomino:
y
∊
]
-
∞
,
2
[
∪
]
2
,
∞
[
y \in ]-\infinity,2[ \cup ]2, \infinity[
Il grafico probabile:
c.
La funzione è invertibile perchè iniettiva. La funzione inversa è:
f
-
1
(
x
)
=
3
x
2
-
x
f^{-1}(x)=\frac{3x}{2-x}
d
.
Grafici probabili di g(x)=f(|x|) e di h(x)= |f(x)|: