Applicando il teorema della media    f(xm) = $\frac{{\int }_0^1{e}^x\left(x^2+x+1\right)dx}{1-0}={\int }_0^1{e}^x{x}^{2}dx+{\int }_0^1{e}^{x}xdx+{\int }_0^1{e}^{x}dx$ Calcolo degli integrali indefiniti: $\int e^x{x}^{2}dx\{\begin{array}{cc}F\left(x\right)=x^2& g\left(x\right)=e^x\\ f\left(x\right)=2x& G\left(x\right)=e^x\end{array}\to \int e^x{x}^{2}dx=e^x{x}^2-2\int e^{x}xdx$ $\int e^{x}xdx\{\begin{array}{cc}F\left(x\right)=x& g\left(x\right)=e^x\\ f\left(x\right)=1& G\left(x\right)=e^x\end{array}\to \int e^{x}xdx=e^{x}x-\int e^{x}dx=e^{x }\mathrm{(x}-\mathrm{1)}+C$ $\int e^x{x}^{2}dx=e^x{x}^2-2\int e^{x}xdx=e^x{x}^2-2e^x\left(x-1\right)+C=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$ Da cui l'integrale indefinito in oggetto:    $\int e^x\left(x^2+x+1\right)dx=\int e^x{x}^{2}dx+\int e^{x}xdx+\int e^{x}dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+e^x\left(x-1\right)+e^x+C=e^x\left(x^2-x+2\right)+C$ e il valore medio cercato:     $f\left(x_m\right)={\left[e^x\left(x^2-x+2\right)\right]}_0^1=e^1\left(2\right)-e^0\left(2\right)=2\left(e-1\right)$