La forma generale di un polinomio di terzo grado è: p(x)= ax³ + bx² + cx + d. La derivata prima è:  p'(x)= 3ax² + 2bx+c.    Il suo integrale indefinito è:    $P\left(x\right)=a\frac{x^4}{4}+b\frac{x^3}{3}+d\frac{x^2}{2}+cx$ . Le condizioni imposte dal quesito sono: p(0)= 0 → d= 0; p'(0)= 0 → c= 0. p(1)= 0 → a + b = 0 → b= -a . A questo punto il polinomio si riduce a : p(x)= ax³ - ax² L'ultima condizione è sull'integrale definito:     ${\int }_0^{1}p\mathrm{(x)}dx={\left[a\frac{x^4}{4}-a\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=a\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{12}a=\frac{1}{12}\to a=-1$ Quindi il polinomio cercato è: p(x)= -x³ + x²