Quesiti con le funzioni N° 15

Occorre esprimere il volume del cilindro in funzione del suo raggio o della sua altezza assegnato il raggio R della sfera.
Il volume del cilindro è dato da : V_cilindro= πr²·h.
Si può osservare (triangolo AEB) la relazione (teorema di Pitagora) : AE² = EB² + AB².

Da cui, sostituendo, : R² = r² + h²/4 e r²= R² - h²/4 e il volume: V_cilindro= πr²·h= πh·(R² - h²/4)

In questa forma il volume del cilindro è funzione dell'altezza.

Calcolo della derivata prima (estremi della funzione):

\frac{d}{d h} V = \frac{d}{d h} [π h (R^{2} - \frac{h^{2}}{4})] = π (R^{2} - \frac{3 h^{2}}{4})

Posta uguale a zero si ricava R²= 3h²/4. Da cui h= 2π√3R/3