Quesiti con le funzioni N° 6

Una dimensione del solido elementare dV è l'ordinata y, la seconda dimensione 3y e la terza dimensione il dx.

Si ricava così l'elemento di volume dV:

d V = y \cdot 3 y \cdot d x = 3 \cdot l n^{2} (x) d x

Occorre ora integrare tra 1 ed e:

V = ∭ d V = \int_{1}^{e} 3 \cdot l n^{2} (x) ⅆ x

Calcolo dell'integrale indefinito:

$\int l n^{2} (x) ⅆ x {\begin{matrix} F (x) = l n^{2} (x) & g (x) = 1 \\ f (x) = \frac{2 \cdot l n (x)}{x} & G (x) = x \end{matrix} \to \int l n^{2} (x) ⅆ x = x \cdot l n^{2} (x) - 2 \int l n (x) ⅆ x$

$\int l n (x) ⅆ x {\begin{matrix} F (x) = l n (x) & g (x) = 1 \\ f (x) = \frac{1}{x} & G (x) = x \end{matrix} \to \int l n (x) ⅆ x = x \cdot l n (x) - \int ⅆ x = x \cdot l n (x) - x + C$

$\int l n^{2} (x) ⅆ x = x \cdot l n^{2} (x) - 2 \int l n (x) ⅆ x = x \cdot l n^{2} (x) - 2 (x \cdot l n (x) - x + C) = x \cdot l n^{2} (x) - 2 x \cdot l n (x) + 2 x + C$

Calcolo del volume:

$V = \int_{1}^{e} l n^{2} (x) ⅆ x = 3 {[x \cdot l n^{2} (x) - 2 x \cdot l n (x) + 2 x]}_{1}^{e} = 3 {[e \cdot l n^{2} (e) - 2 e \cdot l n (e) + 2 e] - [l n^{2} (1) - 2 \cdot l n (1) + 2]} =$

= 3 e - 6 e + 6 e - 6 = 3 e - 6