QUESITI CON LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE


  1. Si calcoli il valor medio della funzione f(x)=  ex(x + x + 1) nell'intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
R: f(xm) = 2e - 2
  1. Fra tutte le primitive di f(x)= 3cos(x) trovare quella il cui grafico passa per il punto (0; 5).
R: f(x)= -sin(x) + 3sin(x) + 5
  1. Si determinino le costanti a e b in modo che la funzione F(x)= asin(x) + bsin(x) +2x sia una primitiva della funzione f(x)= cos(x) - 3cos(x) + 2
R: a= -1/3; b= -2
  1. Trovare f(4) sapendo che 0 x f(t) t =xcos( π x ) .
R: f(4) = 1
  1. Si trovi l'area della regione delimitata dalla curva y= cos(x) e dall'asse x da x=1 a x= 2 radianti.
R: Area= 2 - sin(1) - sin(2)
  1. La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y= ln(x) e l'asse x, con  1 ≤ x ≤ e, la base di un solido V le cui sezioni, ottenute tagliando V con piani perpendicolari all'asse x, sono tutte rettangoli aventi l'altezza tripla della base. Si calcoli il volume di V.
R: V= 3(e-2)

  1. La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione f(x)= ex/2(x + 1) e dall'asse x nell'intervallo 0 ≤ x ≤ 1 la base di un solido V le cui sezioni sono esagoni regolari. Si calcoli il volume di V.
R: V= 1.5√3(2e - 1)
  1. Si calcoli il valor medio della funzione f(x)=  |1 - x|  nell'intervallo -2 ≤ x ≤ 3.
R:  f(xm) = 28/15
  1. Si calcoli il valor medio della funzione f(x)= sin(x)  nell'intervallo 0 ≤ x ≤ π.
R:  f(xm) = 4/3π
  1. Si determini il polinomio P(x) di terzo grado tale che: P(0) = P'(0)= 0, P(1)= 0 e 0 1 P(x)= 1 12 
R: P(x) = -x + x
  1. Siano: 0 < a < b e x ∈ [-b; b]. Si provi che: -b b | x-a | x = a 2 + b 2 
R
  1. Qual' il flesso della funzione f(x)= ex - x ?
R: Flesso a tangente obliqua in (ln2; 2 - ln2)
  1. La funzione f(x)= asin(x) + bcos(x) ha un estremo relativo per x= 4π/3 ed f(2π/3) = 1. Si trovino a e b.
R: a=√3, b= 1
  1. Qual' il cono di volume massimo inscrivibile  in una sfera assegnata ?
R: hcono= 4R/3
  1. Qual' il cilindro di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata ?
R: hcilindro= 2√3R/3

  1. Fra tutti i coni circoscritti ad una data sfera , trovare quello di volume minimo.
R: V=8πr/3

  1. Un prisma a base quadrata ha altezza x e spigolo di base y tali che x + y = 3. Qual' il suo volume massimo ?
R: V= 4

  1. Si dimostri che fra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima un quadrato.
R
  1. Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo.
  1. Si determini il punto della parabola 4y= x pi vicino al punto di coordinate (6; -3)
R: (2; 1)