N. 2 LIMITI CON TAYLOR

$lim_{x \to + \infty} [e^{\frac{x^{2}}{1 + x}} - {(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}]$

Cambio di variabile: $y = \frac{1}{x}$

$lim_{x \to + \infty} [e^{\frac{x^{2}}{1 + x}} - {(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}] = lim_{y \to 0^{+}} [e^{\frac{\frac{1}{y^{2}}}{1 + \frac{1}{y}}} - {(1 + y)}^{\frac{1}{y^{2}}}] = lim_{y \to 0^{+}} [e^{\frac{1}{y (1 + y)}} {- e}^{\frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (1 + y)}]$

Sviluppo di Taylor di ln(1+y) fino n=2: $\ln (1 + y) = y - \frac{y^{2}}{2} + o (y^{2})$ , da cui: $\frac{1}{y^{2}} \ln (1 + y) = \frac{1}{y^{2}} [y - \frac{y^{2}}{2} + o (y^{2})] = \frac{1}{y} - \frac{1}{2} + o (1)$

Sviluppo di Taylor di $\frac{1}{1 + y}$ fino a n=2: $\frac{1}{1 + y} = 1 - y + y^{2} + o (y^{2})$ , da cui: $\frac{1}{y (y + 1)} = \frac{1}{y} [1 - y + y^{2} + o (y^{2})] = \frac{1}{y} - 1 + y + o (1)$

In conclusione:

$lim_{y \to 0^{+}} [e^{\frac{1}{y (1 + y)}} {- e}^{\frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (1 + y)}] = lim_{y \to 0^{+}} [e^{\frac{1}{y} - 1 + y + o (1)} - e^{\frac{1}{y} - \frac{1}{2} + o (1)}] = lim_{y \to 0^{+}} e^{\frac{1}{y} - 1} [e^{y} - e^{\frac{1}{2}}] \cdot e^{o (1)} \approx \infty \cdot (- 0.65) = - \infty$