N. 4 LIMITI CON TAYLOR

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x - 1) \cos x + x^{3} - x^{2} - 2 x + 2}{x^{3} e^{x} (x^{2} + 1) \sin x}$

Sviluppi di Taylor in x=0:

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + . . . + o (x^{2 n + 1})$

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{5!} + . . . + o (x^{2 n + 2})$

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + . . . + o (x^{n})$

Sviluppo algebrico del numeratore:

$N (x) = 2 (x - 1) [1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o (x^{5})] + x^{3} - x^{2} - 2 x + 2 = 2 x - x^{3} + \frac{x^{5}}{12} + 2 \cdot o (x^{6}) - 2 + x^{2} - \frac{x^{4}}{12} - 2 \cdot o (x^{5}) + x^{3} - x^{2} - 2 x + 2 = - \frac{x^{4}}{12} + o (x^{5})$

Nel numeratore il termine con minimo esponente è x⁴.

Sviluppo algebrico del denominatore (tenendo i termini necessari perchè il termine di minimo esponente sia 4) :

$D (x) = x^{3} \cdot [1 + o (x^{0})] (x^{2} + 1) \cdot [x + o (x^{4})] = [x^{3} + o (x^{3})] \cdot [x^{3} + o (x^{4}) + x + o (x^{2})] = [x^{3} + o (x^{3})] \cdot [x^{3} + x + o (x^{2})] = x^{4} + o (x^{4})$

In conclusione:

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x - 1) \cos x + x^{3} - x^{2} - 2 x + 2}{x^{3} e^{x} (x^{2} + 1) \sin x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{x^{4}}{12} + o (x^{5})}{x^{4} + o (x^{4})} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{12} + o (x)}{1 + o (1)} = - \frac{1}{12}$