$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\left(1-\cos x\right)\sin x-x^3}{{\left(\sin x\right)}^3-x^3}$

Sviluppi di Taylor in x=0:

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+....+o\left(x^{2n+1}\right)\to 1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+....+o\left(x^{2n+1}\right)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+....+o\left(x^{2m+2}\right)$

Numeratore:

$N\left(x\right)=2·(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+....+o\left(x^{2n+1}\right))\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}+....+o\left(x^{2m+2}\right)\right)-x^3\approx 2·(\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{12}-\frac{x^5}{24}+o\left(x^6\right))-x^3=-\frac{x^5}{4}+o\left(x^6\right)$

In rosso sono evidenziati i termini che, moltiplicati, producono il termine che, dopo lo sviluppo algebrico, ha grado più basso ( x⁵).

Denominatore (approssimato al grado x⁵):

$D\left(x\right)={\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right)}^3-x^3={\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right)}^2\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right)-x^3=x^3-\frac{1}{3}{x}^5-\frac{1}{6}{x}^5+o\left(x^6\right)-x^3=-\frac{1}{2}{x}^5+o\left(x^6\right)$

Il limite:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\left(1-\cos x\right)\sin x-x^3}{{\left(\sin x\right)}^3-x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{x^5}{4}+o\left(x^6\right)}{-\frac{x^5}{2}+o\left(x^6\right)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{4}+o\left(x\right)}{-\frac{1}{2}+o\left(x\right)}=\frac{1}{2}$