N. 1 LIMITI CON TAYLOR

Determinare per quali valori di α ∈ℝ il limite indicato esiste finito e calcolarlo: $lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(1 + \sin x)}^{\frac{1}{x}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{\tan^{α} x}$

Il limite può essere scritto nella forma:

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{\frac{1}{x} \cdot \ln (1 + \sin x)} - e^{- \frac{x}{2}}}{\tan^{α} x}$

Sviluppi di Taylor in x=0:

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4})$

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})$

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + o (x^{4})$

$\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})$

$\ln (1 + \sin x) = \sin x - \frac{\sin^{2} x}{2} + o (\sin^{2} x) = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4}) - \frac{1}{2} (x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + o (x^{5})) + o (x^{2}) = x - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})$

$\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{4})$

Da cui lo sviluppo del numeratore:

$N (x) = e^{\frac{1}{x} \cdot (x - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2}))} - e^{- \frac{x}{2}} = e^{- \frac{x}{2}} (e^{1 + o (x)} - 1) = (1 + o (x^{0})) \cdot (e^{1 + o (x)} - 1)$

Sviluppo del denominatore:

$D (x) = {(x + o (x^{2}))}^{α} = x^{α} + o (x^{2 α})$

In conclusione:

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(1 + \sin x)}^{\frac{1}{x}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{\tan^{α} x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + o (x^{0})) \cdot (e^{1 + o (x)} - 1)}{x^{α} + o (x^{2 α})}$

Possono presentarsi tre casi:

${\begin{matrix} α < 0 \to lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + o (x^{0})) \cdot (e^{1 + o (x)} - 1)}{x^{α}} = 0 \\ α = 0 \to lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + o (x^{0})) \cdot (e^{1 + o (x)} - 1)}{x^{0}} = e - 1 \\ α > 0 \to lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + o (x^{0})) \cdot (e^{1 + o (x)} - 1)}{x^{α}} = + \infty \end{matrix}$