Determinare per quale valore di α∈ℝ⁺ il limite indicato esiste finito, e calcolarlo: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2\left(1-\cos x\right)\sin x+x^3·\sqrt{1-x^2}}{2x^{\alpha }}$

Sviluppo di Taylor in x=0 :

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\to 1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)$

${\left(1-x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=1-\frac{1}{2}{x}^2+o\left(x^2\right)$

Da cui lo sviluppo del numeratore:

$N\left(x\right)=2·(\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right))·\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right)+x^3\left(1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)=x^3-\frac{x^5}{6}+o\left(x^4\right)+x^3-\frac{x^5}{2}+o\left(x^5\right)=2x^3+o\left(x^4\right)$

In conclusione:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2\left(1-\cos x\right)\sin x+x^3·\sqrt{1-x^2}}{2x^{\alpha }}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2x^3+o\left(x^4\right)}{2x^{\alpha }}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{3-\alpha }+o\left(x^{4-\alpha }\right)\{\begin{array}{c}=0\to 3-\alpha >0\to \alpha <3\\ =1\to 3-\alpha =0\to \alpha =3\\ =+\infty \to 3-\alpha <0\to \alpha >3\end{array}$