N. 11 LIMITI CON TAYLOR

Calcolare al variare di α∈ℝ, il limite indicato: $lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{\sin x}}{x^{α}}$

Sviluppo di Taylor in x=0 :

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4})$

$\sqrt{\sin x} = \sqrt{x - \frac{x^{3}}{6} + o (x^{4})} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3})} = \sqrt{x} \cdot {(1 - \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3}))}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \cdot {[1 + (- \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3}))]}^{\frac{1}{2}} =$

$= \sqrt{x} \cdot [1 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{2}}{6} + o (x^{3})) + o (x^{2})] = \sqrt{x} (1 - \frac{x^{2}}{12} + o (x^{2}))$

Da cui lo sviluppo del numeratore:

$N (x) = \sqrt{x} - \sqrt{x} (1 - \frac{x^{2}}{12} + o (x^{2})) = \sqrt{x} (1 - 1 + \frac{x^{2}}{12} + o (x^{2})) = \frac{1}{12} x^{\frac{5}{2}} + o (x^{\frac{5}{2}})$

In conclusione:

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{12} x^{\frac{5}{2}} + o (x^{\frac{5}{2}})}{x^{α}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{12} \cdot x^{\frac{5}{2} - α} + o (x^{\frac{5}{2} - α}) {\begin{matrix} = 0 \to \frac{5}{2} - α > 0 \to α < \frac{5}{2} \\ = \frac{1}{12} \to \frac{5}{2} - α = 0 \to α = \frac{5}{3} \\ = + \infty \to \frac{5}{2} - α < 0 \to α > \frac{5}{2} \end{matrix}$