Determinare per quali valori di α ∈ℝ\{0} il limite indicato esiste finito e calcolarlo: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin \left(x-\sin x\right)-\frac{x^3}{6}+\cos x-e^{-\raisebox{1ex}{$x^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{{(x^2+1)}^{\alpha }-1-\alpha x^2}$

Nel numeratore è presente un addendo in x³ e gli sviluppi degli ultimi due addendi sono identici fino a x². Quindi è necessario portare gli sviluppi in serie di Taylor un pò più avanti.

Sviluppo di Taylor della funzione composta $g\left(f\left(x\right)\right)=\sin \left(x-\sin x\right)$ con $g\left(x\right)=\sin x$ e $f\left(x\right)=x-\sin x$ (f(x)→0 se x→0):

$g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)-\frac{f^3\left(x\right)}{6}+o\left[f^4\left(x\right)\right]=x-\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right)-\frac{1}{6}{\left[x-\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right)\right]}^3+o\left(x^{12}\right)=$

$=\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)-\frac{1}{6}{\left[\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)\right]}^3+o\left(x^4\right)=\frac{x^3}{6}-\frac{x^9}{1296}+o\left(x^4\right)$

Altri sviluppi di Taylor del numeratore :

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)$

$e^{-\raisebox{1ex}{$x^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)$

Da cui lo sviluppo del numeratore:

$N\left(x\right)=\frac{x^3}{6}-\frac{x^9}{1296}+o\left(x^4\right)-\frac{x^3}{6}+1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)=-\frac{x^4}{12}-\frac{x^9}{1296}+o\left(x^4\right)=-\frac{x^4}{12}+o\left(x^4\right)$

I primi due addendi del numeratore si sono semplificati ma ciò non implica che bisognava portare più avanti i loro sviluppi in serie di Taylor perchè gli ultimi due addendi del numeratore forniscono un termine in x⁴ che è di grado inferiore ai termini che sarebbero stati prodotti dai primi due addendi del numeratore.

Dall'esame del denominatore è evidente, a questo punto, che occorre sviluppare ${(x^2+1)}^{\alpha }$ fino al terzo termine (per ottenere x⁴) :

${(x^2+1)}^2=1+\alpha x^2+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^4+o\left(x^4\right)$

Da cui il denominatore:

$D\left(x\right)=1+\alpha x^2+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^4+o\left(x^4\right)-1-\alpha x^2=\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^4+o\left(x^4\right)$

In conclusione:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin \left(x-\sin x\right)-\frac{x^6}{6}+\cos x-e^{-\raisebox{1ex}{$x^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{{(x^2+1)}^{\alpha }-1-\alpha x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-\frac{x^4}{12}+o\left(x^4\right)}{\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^4+o\left(x^4\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-\frac{1}{12}+o\left(1\right)}{\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}+o\left(1\right)}$

È evidente che se α≠0 ∧α≠1 esiste il limite finito: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin \left(x-\sin x\right)-\frac{x^3}{6}+\cos x-e^{-\raisebox{1ex}{$x^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{{(x^2+1)}^{\alpha }-1-\alpha x^2}=-\frac{1}{6\alpha (\alpha -1)}$