Calcolare, al variare di α∈ℝ⁺ il limite indicato: $\underset{x\to +\infty }{lim}({(x^3+x^2+1)}^{\alpha }-{(x^3-x^2+1)}^{\alpha })$

Cambio di variabile:

$t=\frac{1}{x}\to \underset{x\to +\infty }{lim}({(x^3+x^2+1)}^{\alpha }-{(x^3-x^2+1)}^{\alpha })=\underset{x\to 0^{+}}{lim}[{(\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t^2}+1)}^{\alpha }-{(\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^2}+1)}^{\alpha }]=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{t^{3\alpha }}·[{(1+t+t^3)}^{\alpha }-{\left(1-t+t^3\right)}^{\alpha }]=$

$=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{t^{3\alpha }}·\underset{t\to 0^{+}}{lim}[{(1+t+t^3)}^{\alpha }-{\left(1-t+t^3\right)}^{\alpha }]$

I trinomi ${\left(1+t+t^3\right)}^{\alpha }$e ${\left(1-t+t^3\right)}^{\alpha }$ possono essere considerati funzioni composte $g\left(f\left(t\right)\right)={\left(1+f\left(t\right)\right)}^{\alpha }$ , con $f\left(t\right)=t+t^3$ infinitesima per t→0⁺ e $g\left(h\left(t\right)\right)={\left(1+h\left(t\right)\right)}^{\alpha }$ con $h\left(t\right)=t^3-t$ infinitesima per t→0⁺.

Da cui gli sviluppi di Taylor del binomio ${\left(1+x\right)}^{\alpha }$:

${\left(1+t+t^3\right)}^{\alpha }=1+\alpha \left(t+t^3\right)+o\left(t\right)$

${\left(1-t+t^3\right)}^{\alpha }=1+\alpha (t^3-t)+o\left(t\right)$

La loro differenza è:

${\left(1+t+t^3\right)}^{\alpha }-{\left(1-t+t^3\right)}^{\alpha }=1+\mathrm{\alpha t}+\alpha t^3-1-\alpha t^3+\mathrm{\alpha t}+o\left(t\right)=2\alpha ·t+o\left(t\right)$

Riprendendo il limite e sostituendo:

$\underset{x\to +\infty }{lim}({(x^3+x^2+1)}^{\alpha }-{(x^3-x^2+1)}^{\alpha })=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{t^{3\alpha }}·\underset{t\to 0^{+}}{lim}[{(1+t+t^3)}^{\alpha }-{\left(1-t+t^3\right)}^{\alpha }]=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{t^{3\alpha }}·\underset{t\to 0^{+}}{lim}\left[2\alpha ·t+o\left(t\right)\right]=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\left[\frac{2\mathrm{\alpha t}}{t^{3\alpha }}+o\left(t^{1-3\alpha }\right)\right]$

Si possono distinguere tre casi:

$\{\begin{array}{c}\alpha <\frac{1}{3}\to 1-3\alpha >0\to \underset{x\to +\infty }{lim}({(x^3+x^2+1)}^{\alpha }-{(x^3-x^2+1)}^{\alpha })=\underset{t\to 0^{+}}{lim}[2\alpha t^{1-3\alpha }+o\left(t^{1-3\alpha }\right)]=0\\ \alpha =\frac{1}{3}\to 1-3\alpha \mathrm{}=0\to \underset{x\to +\infty }{lim}({(x^3+x^2+1)}^{\alpha }-{(x^3-x^2+1)}^{\alpha })=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\left[2\alpha +o\left(1\right)\right]=\frac{2}{3}\\ \\ \alpha >\frac{1}{3}\to 1-3\alpha \mathrm{}<0\to \underset{x\to +\infty }{lim}({(x^3+x^2+1)}^{\alpha }-{(x^3-x^2+1)}^{\alpha })=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\left[2\alpha t^{1-3\alpha }+o\left(t^{1-3\alpha }\right)\right]=+\infty \\ \end{array}$