Determinare gli eventuali α∈ℝ per i quali il limite indicato esiste finito e in tal caso calcolarlo:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\sqrt{1+x^2}\cos x}{{\left(\tan x\right)}^{\alpha }}$

Sviluppo di Taylor del denominatore fino a n=0: $D\left(x\right)={\left(\tan x\right)}^{\alpha }={\left[x+o\left(x^2\right)\right]}^{\alpha }$

Sviluppo di Taylor del numeratore .

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)$

$\sqrt{1+x^2}={\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{2}}=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$

$\sqrt{1+x^2}·\cos x=\left[1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right].\left[1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\right]=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+o\left(x^5\right)+o\left(x^2\right)+o\left(x^4\right)+o\left(x^5\right)=1-\frac{x^4}{4}+o\left(x^2\right)$

Lo sviluppo di $\sqrt{1+x^2}·\cos x$ ha prodotto un unico termine in x⁴ non presente nello sviluppo dei fattori.

Per non trascurare eventuali termini in x⁴ bisogna portare gli sviluppi avanti di un termine:

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)$

$\sqrt{1+x^2}={\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{2}}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)$

$\sqrt{1+x^2}·\cos x=\left[1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)\right].\left[1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)\right]=$

$=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{48}+o\left(x^7\right)-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{16}-\frac{x^8}{192}+o\left(x^9\right)+o\left(x^4\right)+o\left(x^6\right)+o\left(x^8\right)+o\left(x^9\right)=1-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{12}-\frac{x^8}{192}+o\left(x^4\right)$

Lo sviluppo del numeratore:

$N\left(x\right)=1-\left[1-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{12}-\frac{x^8}{192}+o\left(x^4\right)\right]=\frac{x^4}{3}-\frac{x^6}{12}+\frac{x^8}{192}+o\left(x^4\right)$

In conclusione:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\sqrt{1+x^2}\cos x}{{\left(\tan x\right)}^{\alpha }}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x^4}{3}-\frac{x^6}{12}+\frac{x^8}{192}+o\left(x^4\right)}{{\left(x+o\left(x^2\right)\right)}^{\alpha }}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{192}+o\left(1\right)}{{\left[x+o\left(x^2\right)\right]}^{\alpha -4}}$

Possono presentarsi tre casi:

$\{\begin{array}{c}\alpha <4\to \alpha -4<0\to \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{192}+o\left(1\right)}{{\left(x+o\left(x^2\right)\right)}^{\alpha -4}}=0\\ \alpha =4\to \alpha -4=0\to \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{192}+o\left(1\right)}{{\left(x+o\left(x^2\right)\right)}^0}=\frac{1}{3}\\ \alpha >4\to \alpha -4>0\to \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{192}+o\left(1\right)}{{\left(x+o\left(x^2\right)\right)}^{\alpha -4}}=+\infty \end{array}$