N. 6 LIMITI CON TAYLOR

Calcolare, al variare di α∈ℝ⁺ il limite indicato: $lim_{x \to + \infty} ({(x^{2} + 1)}^{α} - {(x^{2} - 1)}^{α})$

Cambio di variabile:

$t = \frac{1}{x} \to lim_{x \to + \infty} ({(x^{2} + 1)}^{α} - {(x^{2} - 1)}^{α}) = lim_{x \to 0^{+}} [{(\frac{1}{t^{2}} + 1)}^{α} - {(\frac{1}{t^{2}} - 1)}^{α}] = lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{2 α}} \cdot [{(1 + t^{2})}^{α} - {(1 - t^{2})}^{α}] =$

$= lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{2 α}} \cdot lim_{t \to 0^{+}} [{(1 + t^{2})}^{α} - {(1 - t^{2})}^{α}]$

I binomi ${(1 + t^{2})}^{α}$ e ${(1 - t^{2})}^{α}$ possono essere sviluppati in serie di Taylor in x=0 :

${(1 + t^{2})}^{α} = 1 + α t^{2} + o (t^{2})$

${(1 - t^{2})}^{α} = 1 - α t^{2} + o (t^{2})$

La loro differenza è:

${(1 + t^{2})}^{α} - {(1 - t^{2})}^{α} = 1 + α t^{2} - 1 + α t^{2} + o (t) = 2 α \cdot t^{2} + o (t^{2})$

Riprendendo il limite e sostituendo:

$lim_{x \to + \infty} ({(x^{2} + 1)}^{α} - {(x^{2} - 1)}^{α}) = lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{2 α}} \cdot lim_{t \to 0^{+}} [{(1 + t^{2})}^{α} - {(1 - t^{2})}^{α}] = lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{2 α}} \cdot lim_{t \to 0^{+}} [2 α \cdot t^{2} + o (t^{2})] = lim_{t \to 0^{+}} [\frac{2 α t^{2}}{t^{2 α}} + o (t^{2 - 2 α})]$

Si possono distinguere tre casi:

${\begin{matrix} α < 1 \to 2 - 2 α > 0 \to lim_{x \to + \infty} ({(x^{2} + 1)}^{α} - {(x^{2} - 1)}^{α}) = lim_{t \to 0^{+}} [2 α t^{2 - 2 α} + o (t^{2 - 2 α})] = 0 \\ α = 1 \to 2 - 2 α = 0 \to lim_{x \to + \infty} ({(x^{2} + 1)}^{α} - {(x^{2} - 1)}^{α}) = lim_{t \to 0^{+}} [2 α + o (1)] = 2 \\ α > 1 \to 2 - 2 α < 0 \to lim_{x \to + \infty} ({(x^{2} + 1)}^{α} - {(x^{2} - 1)}^{α}) = lim_{t \to 0^{+}} [2 α t^{2 - 2 α} + o (t^{2 - 2 α})] = + \infty \end{matrix}$