N. 8 LIMITI CON TAYLOR

Calcolare, al variare di α∈ℝ, il limite indicato: $lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{3} - 6 x - 2 x^{3}}{x^{α} e^{2 \cos x} (\cos x - 1)}$

Sviluppo di Taylor in x=0 (sono necessari quattro termini a causa della forma algebrica del numeratore che ha termini in x³):

$\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} + o (x^{5})$

$\ln (1 - x) = - x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{5}}{5} + o (x^{5})$

Si può scrivere: $\ln {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{3} = 3 \cdot \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) = 3 \cdot [\ln (1 + x) - \ln (1 - x)] = 3 \cdot (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} + o (x^{5}) + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} + o (x^{5})) = 6 x + 2 x^{3} + \frac{6}{5} x^{5} + o (x^{5})$

Da cui lo sviluppo del numeratore:

$N (x) = 6 x + 2 x^{3} + \frac{6}{5} x^{5} + o (x^{5}) - 6 x - 2 x^{3} = \frac{6}{5} x^{5} + o (x^{5})$

Sviluppo di Taylor in x=0 :

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3}) \to \cos x - 1 = - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3})$

Sviluppo del denominatore ( $e^{2 \cos x}$ non è infinitesima quando x→0)

$D (x) = x^{α} \cdot e^{2 \cos x} (- \frac{x^{2}}{2} + o (x^{3})) = e^{2 \cos x} (- \frac{x^{α + 2}}{2} + o (x^{3 + α}))$

In conclusione:

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{3} - 6 x - 2 x^{3}}{x^{α} e^{2 \cos x} (\cos x - 1)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{6}{5} x^{5} + o (x^{5})}{e^{2 \cos x} (- \frac{x^{α + 2}}{2} + o (x^{3 + α}))} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{{\frac{6}{5} \cdot x}^{- α + 3} + o (x^{- α + 3})}{e^{2 \cos x} (- \frac{1}{2} + o (x))} = {\begin{matrix} = 0 \to - α + 3 > 0 \to α < 3 \\ = - \frac{12}{{5 e}^{2}} \to - α + 3 = 0 \to α = 3 \\ = - \infty \to - α + 3 < 0 \to α > 3 \end{matrix}$