Calcolare, al variare di α∈ℝ, il limite indicato: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{{\left(1-\cos x\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{e^{\frac{2}{x}·\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}}+\frac{x}{12}}{x^{\alpha }}$

$$Si può osservare che: $e^{\frac{2}{x}·\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}=e^{\ln {\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^{\frac{2}{x}}}={\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^{\frac{2}{x}}$, sostituendo nel numeratore questo diventa:

$N\left(x\right)=\frac{{\left(1-\cos x\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{12}={(2·\frac{1-\cos x}{x^2})}^{\frac{1}{x}}+\frac{x}{12}$

In conclusione:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{{\left(1-\cos x\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{e^{\frac{2}{x}·\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}}+\frac{x}{12}}{x^{\alpha }}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\left(2·\frac{1-\cos x}{x^2}\right)}^{\frac{1}{x}}+\frac{x}{12}}{x^{\alpha }}=\{\begin{array}{c}=+\infty \to \alpha >0\\ =1\to \alpha =0\\ =0\to \alpha <0\end{array}$

dove si è utilizzato il limite notevole: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$