$$\lim_{x→+\infinity} \frac{2^x+\left(\frac{27}{10}\right)^x}{x+e^x}$$

Dividiamo numeratore e denominatore con e^x : $$\lim_{x→+\infinity} \frac{2^x+\left(\frac{27}{10}\right)^x}{x+e^x}=\lim_{x→+\infinity} \frac{2^x/e^x+\left(\frac{27}{10}\right)^x/e^x}{x/ e^x+1}=\lim_{x→+\infinity} \frac{\left(\frac{2}{e}\right)^x+\left(\frac{2.7}{e}\right)^x}{x/ e^x+1}$$
Poichè il rapporto dei limiti è uguale al limite del rapporto e la somma dei limiti è uguale al limite della somma si ha:

$$\lim_{x→+\infinity} \frac{2^x+\left(\frac{27}{10}\right)^x}{x+e^x}= \frac{\lim_{x→+\infinity}\left(\frac{2}{e}\right)^x+\lim_{x→+\infinity}\left(\frac{2.7}{e}\right)^x}{\lim_{x→+\infinity}x/ e^x+1}$$2/e e 2.7/e  sono minori di 1 e ricordando che, se a <1, : $$\lim_{x→+\infinity}a^x=0$$e che e^x è un infinito d'ordine superiore rispetto a x, per cui : $$\lim_{x→+\infinity}\frac{x}{e^x}=0$$si ottiene: $$\lim_{x→+\infinity} \frac{2^x+\left(\frac{27}{10}\right)^x}{x+e^x}= \frac{\lim_{x→+\infinity}\left(\frac{2}{e}\right)^x+\lim_{x→+\infinity}\left(\frac{2.7}{e}\right)^x}{\lim_{x→+\infinity}x/ e^x+1}=\frac{0+0}{0+1}=0$$