In questo caso operiamo la sostituzione: $$1+\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{2}x+4}{\sqrt{2}x-2}$$ Ricaviamo la variabile y: $$y=\frac{\sqrt{2}x-2}{6}$$ Poichè: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }y(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{2}x-2}{6}=\mathrm{\infty }$$ possiamo sostituire la variabile x con la variabile y.
Ricaviamo anche la x: $$x=\frac{6y+2}{\sqrt{2}}$$ e ora possiamo operare la sostituzione della variabile x con la variabile y: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{\sqrt{2}x+4}{\sqrt{2}x-2}\right)}^{\frac{\sqrt{2}}{3}x+\sqrt{3}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{\frac{\sqrt{2}}{3}\left(\frac{6y+2}{\sqrt{2}}\right)+\sqrt{3}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{2y+\frac{2}{3}+\sqrt{3}}$$ infine applichiamo le proprietà delle potenze, la proprietà sulle operazioni algebriche con i limiti e il limite notevole: $$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^y=e$$ per calcolare il limite dato: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{\sqrt{2}x+4}{\sqrt{2}x-2}\right)}^{\frac{\sqrt{2}}{3}x+\sqrt{3}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{2y+\frac{2}{3}+\sqrt{3}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{\frac{2}{3}+\sqrt{3}}\cdot {\left[\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^y\right]}^2=1^{\frac{2}{3}+\sqrt{3}}\cdot e^2=e^2$$