In questo caso operiamo la sostituzione: $$1+\frac{1}{y}=\frac{x+\sqrt{3}}{x+2\sqrt{3}}$$ Ricaviamo la variabile y: $$y=-\frac{x+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ Poichè: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }y(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{x+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\mathrm{\infty }$$ possiamo sostituire la variabile x con la variabile y.
Ricaviamo anche la x: $$x=-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}$$ e ora possiamo operare la sostituzione della variabile x con la variabile y e, applicando le proprietà delle potenze, la proprietà sulle operazioni algebriche con i limiti e il limite notevole: $$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^y=e$$ possiamo calcolare il limite dato: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x+\sqrt{3}}{x+2\sqrt{3}}\right)}^{-\frac{x}{\sqrt{3}}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{\frac{\sqrt{3}y+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^2\cdot \underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^y=1\cdot e=e$$