lim
x
→
0
x
sin
x
(
e
x
-
1
)
ln
(
1
+
x
)
(
1
-
cos
x
)
\lim_{x→0}\,\frac{x\, \sin\,x\left(e^x-1\right)}{\ln\left({1+x}\right)\left(1-\cos\,x\right)}
Dividiamo numeratore e denominatore con x
3
si ottiene:
lim
x
→
0
x
sin
x
(
e
x
-
1
)
ln
(
1
+
x
)
(
1
-
cos
x
)
=
lim
x
→
0
x
sin
x
(
e
x
-
1
)
x
3
ln
(
1
+
x
)
(
1
-
cos
x
)
x
3
=
lim
x
→
0
sin
x
x
(
e
x
-
1
)
x
ln
(
1
+
x
)
x
(
1
-
cos
x
)
x
2
\lim_{x→0}\,\frac{x\, \sin\,x\left(e^x-1\right)}{\ln\left({1+x}\right)\left(1-\cos\,x\right)}=\lim_{x→0}\,\frac{\frac{x\, \sin\,x\left(e^x-1\right)}{x^3}}{\frac{\ln\left({1+x}\right)\left(1-\cos\,x\right)}{x^3}}=\lim_{x→0}\,\frac{ \frac{\sin\,x}{x}\frac{\left(e^x-1\right)}{x}}{\frac{\ln\left({1+x}\right)}{x}\frac{\left(1-\cos\,x\right)}{x^2}}
Ricordando i limiti notevoli:
{
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
lim
x
→
0
e
x
-
1
x
=
1
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
lim
x
→
0
1
-
cos
x
x
2
=
1
2
\begin{cases} \lim_{x→0}\frac{\sin\,x}{x}=1 \\ \lim_{x→0}\frac{e^x-1}{x}=1 \\ \lim_{x→0}\frac{\ln\left({1+x}\right)}{x}=1 \\\lim_{x→0}\frac{1-\cos\,x}{x^2}=\frac{1}{2} \end{cases}
e che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti e che il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti si ottiene:
lim
x
→
0
x
sin
x
(
e
x
-
1
)
ln
(
1
+
x
)
(
1
-
cos
x
)
=
lim
x
→
0
sin
x
x
⋅
lim
x
→
0
(
e
x
-
1
)
x
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
⋅
lim
x
→
0
(
1
-
cos
x
)
x
2
=
1
⋅
1
1
⋅
1
2
=
2
\lim_{x→0}\,\frac{x\, \sin\,x\left(e^x-1\right)}{\ln\left({1+x}\right)\left(1-\cos\,x\right)}=\frac{ \lim_{x→0}\frac{\sin\,x}{x}\cdot\lim_{x→0}\frac{\left(e^x-1\right)}{x}}{\lim_{x→0}\frac{\ln\left({1+x}\right)}{x}\cdot\lim_{x→0}\frac{\left(1-\cos\,x\right)}{x^2}}=\frac{1\cdot1}{1\cdot\frac{1}{2}}=2