lim
x
→
0
+
e
-
1
x
(
e
+
2
x
)
1
x
\lim_{x→0^+}e^{-\frac{1}{x}}\left(e+2x\right)^{\frac{1}{x}}
Riscriviamo il limite nella forma:
lim
x
→
0
+
e
-
1
x
(
e
+
2
x
)
1
x
=
lim
x
→
0
+
(
e
+
2
x
e
)
1
x
=
lim
x
→
0
+
(
1
+
2
x
e
)
1
x
\lim_{x→0^+}e^{-\frac{1}{x}}\left(e+2x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x→0^+}\left(\frac{e+2x}{e}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x→0^+}\left(1+\frac{2x}{e}\right)^{\frac{1}{x}}
Operiamo una sostituzione di variabile:
y
=
e
2
x
y=\frac{e}{2x}
Calcoliamo il limite della nuova variabile:
lim
x
→
0
+
y
=
lim
x
→
0
+
e
2
x
=
+
∞
\lim_{x→0^+}y=\lim_{x→0^+}\frac{e}{2x}=+\infinity
Il nostro limite ora diventa:
lim
x
→
0
+
e
-
1
x
(
e
+
2
x
)
1
x
=
lim
y
→
+
∞
(
1
+
1
y
)
2
y
e
=
[
lim
y
→
+
∞
(
1
+
1
y
)
y
]
2
e
=
e
2
e
\lim_{x→0^+}e^{-\frac{1}{x}}\left(e+2x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{y→+\infinity}\left(1+\frac{1}{y}\right)^\frac{2y}{e}=\left[\lim_{y→+\infinity}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^{\frac{2}{e}}=e^{\frac{2}{e}}
Ricordando il limite notevole:
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
\lim_{x→+\infinity}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e