lim
x
→
0
(
sin
4
x
x
)
1
x
\lim_{x→0}\left(\frac{\sin\,4x}{x}\right)^\frac{1}{x}
Facciamo il logaritmo del limite:
ln
[
lim
x
→
0
(
sin
4
x
x
)
1
x
]
=
ln
(
l
)
\ln\left[ \lim_{x→0}\left(\frac{\sin\,4x}{x}\right)^\frac{1}{x}\right]=\ln\left({l}\right)
Il logaritmo del limite è uguale al limite del logaritmo:
lim
x
→
0
[
1
x
ln
(
sin
4
x
x
)
]
=
ln
(
l
)
\lim_{x→0}\left[\frac{1}{x}\,\ln\left({\frac{\sin\,4x}{x}}\right)\right]=\ln\left({l}\right)
Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti:
lim
x
→
0
(
1
x
)
⋅
lim
x
→
0
ln
(
sin
4
x
x
)
=
ln
(
l
)
\lim_{x→0}\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \lim_{x→0}\,\ln\left({\frac{\sin\,4x}{x}}\right)=\ln\left({l}\right)
Il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite:
lim
x
→
0
(
1
x
)
⋅
ln
(
lim
x
→
0
sin
4
x
x
)
=
ln
(
l
)
\lim_{x→0}\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \,\ln\left({\lim_{x→0}\frac{\sin\,4x}{x}}\right)=\ln\left({l}\right)
Utilizziamo il limite notevole
lim
x
→
0
sin
x
x
\lim_{x→0}\frac{\sin\,x}{x}
:
lim
x
→
0
(
1
x
)
⋅
ln
(
4
lim
x
→
0
sin
4
x
4
x
)
=
ln
(
l
)
⇒
lim
x
→
0
(
1
x
)
⋅
ln
(
4
)
=
ln
(
l
)
\lim_{x→0}\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\, \,\ln\left({4\lim_{x→0}\frac{\sin\,4x}{4x}}\right)=\ln\left({l}\right)⇒\lim_{x→0}\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\ln(4)=\ln\left({l}\ri
\lim_{x→0}\left(\frac{\sin\,4x}{x}\right)^\frac{1}{x}=\begin{cases} +\infinity\qquad \\ ⋯ \end{cases}
Se x tende a zero da destra troviamo che ln(l) tende a +∞. Questo accade se anche l tende a +∞.
Se x tende a zero da sinistra troviamo che ln(l) tende a -∞. Questo accade se l tende a zero da destra.
Quindi:
lim
x
→
0
(
sin
4
x
x
)
1
x
=
{
+
∞
s
e
x
→
0
+
0
s
e
x
→
0
-
\lim_{x→0}\left(\frac{\sin\,4x}{x}\right)^\frac{1}{x}=\begin{cases} +\infinity\qquadse\,x→0^+ \\ 0\quad\qquadse\,x→0^- \end{cases}