lim
x
→
+
∞
(
e
x
-
x
x
)
\lim_{x→+\infinity}\left(e^x-x^x\right)
Trasformiamo x
x
:
x
x
=
e
ln
(
x
x
)
=
e
x
⋅
ln
x
x^x=e^{\ln\,\left( {x^x}\right)}=e^{x\cdot\ln\,x}
Sostituiamo la trasformazione e facciamo qualche passaggio:
lim
x
→
+
∞
(
e
x
-
x
x
)
=
lim
x
→
+
∞
(
e
x
-
e
x
⋅
ln
x
)
=
lim
x
→
+
∞
(
e
x
-
e
x
⋅
ln
x
)
=
lim
x
→
+
∞
[
e
x
-
(
e
x
)
ln
x
]
=
\lim_{x→+\infinity}\left(e^x-x^x\right)=\lim_{x→+\infinity}\left(e^x-e^{x\cdot\ln\,x}\right)=\lim_{x→+\infinity}\left(e^x-e^{x\cdot\ln\,x}\right)=\lim_{x→+\infinity}\left[e^x-\left(e^{x}\right)^{\ln\,x}\right]=
=
lim
x
→
+
∞
[
e
x
-
e
x
e
x
(
e
x
)
ln
x
]
=
lim
x
→
+
∞
[
e
x
-
e
x
(
e
x
)
ln
x
-
1
]
=
lim
x
→
+
∞
e
x
[
1
-
(
e
x
)
ln
x
-
1
]
=\lim_{x→+\infinity}\left[e^x-\frac{e^x}{e^x}\left(e^{x}\right)^{\ln\,x}\right]=\lim_{x→+\infinity}\left[e^x-e^x\left(e^{x}\right)^{\ln\,x-1}\right]=\lim_{x→+\infinity}e^x\left[1-\left(e^{x}\right)^{\ln\,x-1}\right]
Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
Applicando questa ultima proprietà si vede subito che è risolta la forma indeterminata:
lim
x
→
+
∞
(
e
x
-
x
x
)
=
lim
x
→
+
∞
e
x
⋅
lim
x
→
+
∞
[
1
-
(
e
x
)
ln
x
-
1
]
=
-
∞
\lim_{x→+\infinity}\left(e^x-x^x\right)=\lim_{x→+\infinity}e^x\cdot\lim_{x→+\infinity}\left[1-\left(e^{x}\right)^{\ln\,x-1}\right]=-\infinity