lim
x
→
0
e
x
2
-
2
+
cos
x
sin
2
x
\lim_{x→0}\frac{e^{x^2}-2+\cos\,x}{\sin^2x}
Riscriviamo il limite in una forma più abbordabile:
lim
x
→
0
e
x
2
-
2
+
cos
x
sin
2
x
=
lim
x
→
0
e
x
2
-
1
+
cos
x
-
1
sin
2
x
\lim_{x→0}\frac{e^{x^2}-2+\cos\,x}{\sin^2x}=\lim_{x→0}\frac{e^{x^2}-1+\cos\,x-1}{\sin^2x}
Dividiamo numeratore e denominatore con x²:
lim
x
→
0
e
x
2
-
2
+
cos
x
sin
2
x
=
lim
x
→
0
e
x
2
-
1
x
2
+
cos
x
-
1
x
2
sin
2
x
x
2
\lim_{x→0}\frac{e^{x^2}-2+\cos\,x}{\sin^2x}=\lim_{x→0}\frac{\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{\cos\,x-1}{x^2}}{\frac{\sin^2x}{x^2}}
Può essere necessario un cambio di variabile:
y
=
x
2
y=x^2
ricordando i limiti notevoli:
{
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
lim
x
→
0
e
x
-
1
x
=
1
lim
x
→
0
1
-
cos
x
x
2
=
1
2
\begin{cases} \lim_{x→0}\frac{\sin\,x}{x}=1 \\ \lim_{x→0}\frac{e^x-1}{x}=1 \\ \lim_{x→0}\frac{1-\cos\,x}{x^2}=\frac{1}{2} \end{cases}
si trova:
lim
x
→
0
e
x
2
-
2
+
cos
x
sin
2
x
=
lim
x
→
0
e
x
2
-
1
x
2
+
cos
x
-
1
x
2
sin
2
x
x
2
=
1
-
1
2
1
=
1
2
\lim_{x→0}\frac{e^{x^2}-2+\cos\,x}{\sin^2x}=\lim_{x→0}\frac{\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{\cos\,x-1}{x^2}}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}