In questo caso operiamo la sostituzione: $$1+\frac{1}{y}=\frac{x-2}{x+2}$$ Ricaviamo la variabile y: $$y=-\frac{x+2}{4}$$ Poichè: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }y(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{x+2}{4}=\mathrm{\infty }$$ possiamo sostituire la variabile x con la variabile y.
Ricaviamo anche la x: $$x=-2-4y$$ e ora possiamo operare la sostituzione della variabile x con la variabile y: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x-2}{x+2}\right)}^{x+6}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{-2-4y+6}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{-4y+4}$$ infine applichiamo le proprietà delle potenze, la proprietà sulle operazioni algebriche con i limiti e il limite notevole: $$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^y=e$$ per calcolare il limite dato: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x-2}{x+2}\right)}^{x+6}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{-2-4y+6}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^{-4y+4}=\frac{\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^4}{{\left[\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(1+\frac{1}{y}\right)}^y\right]}^4}=\frac{1^4}{e^4}=\frac{1}{e^4}$$