f
(
x
)
=
x
3
4
+
x
2
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
È una funzione fratta e occorre eliminare i punti che verificano
4
+
x
2
=
0
. Ma questa equazione non ha soluzioni in
R
.
Proprietà geometriche.
→
È una funzione dispari.
f
(
-
x
)
=
(
-
x
)
3
4
+
(
-
x
)
2
=
-
x
3
4
+
x
2
=
-
(
x
3
4
+
x
2
)
=
-
f
(
x
)
Intersezione con gli assi.
→
P
0
(
0
,
0
)
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
x
3
4
+
x
2
=
0
→
x
=
0
Intercetta.
f
(
0
)
=
0
(radice coincidente con intercetta).
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
x
3
4
+
x
2
≥
0
→
(
x
3
≥
0
)
⋅
(
4
+
x
2
>
0
)
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
∀
x
∈
R
)
→
x
≥
0
Asintoti.
Verticale. Non esiste perchè la funzione è continua in
R
.
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
x
3
4
+
x
2
=
±
∞
. Non esistono asintoti orizzontali.
Obliqui. f'(x)=
3
x
2
⋅
(
4
+
x
2
)
-
x
3
⋅
2
x
(
4
+
x
2
)
2
=
12
x
2
+
3
x
4
-
2
x
4
(
4
+
x
2
)
2
=
12
x
2
+
x
4
(
4
+
x
2
)
2
;
l
i
m
x
→
±
∞
12
x
2
+
x
4
(
4
+
x
2
)
2
=
1
. Esiste un asintoto obliquo.
Coefficiente angolare:
m
=
l
i
m
x
→
±
∞
f
'
(
x
)
=
1
Intercetta:
q
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
f
(
x
)
-
f
'
(
x
)
⋅
x
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
x
3
4
+
x
2
-
12
x
2
+
x
4
(
4
+
x
2
)
2
⋅
x
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
x
3
(
1
4
+
x
2
-
12
+
x
2
(
4
+
x
2
)
2
)
]
=
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
x
3
(
4
+
x
2
-
12
-
x
2
(
4
+
x
2
)
2
)
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
-
8
x
3
(
4
+
x
2
)
2
]
=
0
Equazione asintoto obliquo:
y
(
x
)
=
x
(bisettrice primo-terzo quadrante)
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
≥
0
→
12
x
2
+
x
4
(
4
+
x
2
)
2
≥
0
→
x
2
⋅
12
+
x
2
(
4
+
x
2
)
2
≥
0
→
∀
x
∈
R
e f'(0)=0.
In P(0,0) deve esserci un flesso a tangente orizzontale. Non ci sono massimi o minimi relativi.
Curvature.
f
'
'
(
x
)
≥
0
→
(
24
x
+
4
x
3
)
(
4
+
x
2
)
2
-
(
12
x
2
+
x
4
)
⋅
2
(
4
+
x
2
)
⋅
2
x
(
4
+
x
2
)
4
=
4
⋅
(
6
x
+
x
3
)
(
4
+
x
2
)
-
(
12
x
2
+
x
4
)
⋅
x
(
4
+
x
2
)
3
=
4
⋅
24
x
+
6
x
3
+
4
x
3
+
x
5
-
12
x
3
-
x
5
(
4
+
x
2
)
3
=
=
4
⋅
24
x
-
2
x
3
(
4
+
x
2
)
3
=
8
x
⋅
12
-
x
2
(
4
+
x
2
)
3
≥
0
. Intanto i punti di flesso: x=0 e
x
=
±
2
3
.
In x=0 c'è il flesso a tangente orizzontale che già si sapeva.
Nei punti
P
1
=
(
-
2
3
,
-
27
2
)
e
P
2
=
(
+
2
3
,
27
2
)
ci sono due flessi a tangente obliqua.
Si possono ricavare le equazioni delle rette tangenti.
y
1
(
x
)
=
f
'
(
x
1
)
⋅
(
x
-
x
1
)
+
y
(
x
1
)
=
12
(
-
2
3
)
2
+
(
-
2
3
)
4
(
4
+
(
-
2
3
)
2
)
2
(
x
+
2
3
)
+
(
-
2
3
)
3
4
+
(
-
2
3
)
2
=
9
8
⋅
(
x
+
2
3
)
-
3
2
3
y
2
(
x
)
=
f
'
(
x
2
)
⋅
(
x
-
x
2
)
+
y
(
x
2
)
=
12
(
2
3
)
2
+
(
2
3
)
4
(
4
+
(
2
3
)
2
)
2
(
x
-
2
3
)
+
(
2
3
)
3
4
+
(
2
3
)
2
=
9
8
⋅
(
x
-
2
3
)
+
3
2
3
Qui di seguito il grafico dello studio delle concavità e il grafico finale delle funzione.