f
(
x
)
=
x
-
1
x
2
+
1
Campo di esistenza.
C
E
=
R
.
Proprietà geometriche.
→
Senza particolari proprietà geometriche.
f
(
-
x
)
=
(
-
x
)
-
1
(
-
x
)
2
+
1
=
-
x
-
1
x
2
+
1
Intersezione con gli assi.
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
x
-
1
=
0
→
x
=
1
. Una radice in
A
(
1
,
0
)
.
Intercetta.
f
(
0
)
=
-
1
. Intercetta in
B
(
0.
-
1
)
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
x
-
1
x
2
+
1
≥
0
→
x
-
1
≥
0
→
∀
x
≥
1
la funzione è positiva
Asintoti.
Verticale. La funzione è continua in
R
. Niente asintoti verticali.
Orizzontale.
l
i
m
x
→
+
∞
x
-
1
x
2
+
1
=
l
i
m
x
→
+
∞
(
x
-
1
)
2
x
2
+
1
=
l
i
m
x
→
+
∞
x
2
-
2
x
+
1
x
2
+
1
=
1.
La retta y=1 è asintoto orizzontale
l
i
m
x
→
-
∞
x
-
1
x
2
+
1
=
l
i
m
x
→
-
∞
[
-
(
x
-
1
)
2
x
2
+
1
]
=
-
l
i
m
x
→
-
∞
x
2
-
2
x
+
1
x
2
+
1
=
-
1.
La retta y=-1 è asintoto orizzontale
Obliqui. Non possono esistere asintoti obliqui (ci sono gli orizzontali).
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
d
d
x
[
x
-
1
x
2
+
1
]
=
x
2
+
1
-
(
x
-
1
)
⋅
2
x
2
x
2
+
1
x
2
+
1
=
x
2
+
1
-
x
2
+
x
(
x
2
+
1
)
3
=
1
+
x
(
x
2
+
1
)
3
.
f
'
(
x
)
=
0
→
x
=
-
1
;
f
(
-
1
)
=
-
1
-
1
1
+
1
=
-
2
2
=
-
2
. In
C
(
-
1
,
-
2
)
un punto stazionario.
f
'
(
x
)
≥
0
→
∀
x
≥
1
la funzione è crescente
→
C
(
-
1
,
-
2
)
è un minimo relativo.
Curvature.
f
"
(
x
)
=
d
d
x
(
1
+
x
(
x
2
+
1
)
3
)
=
(
x
2
+
1
)
3
-
(
1
+
x
)
⋅
3
2
x
2
+
1
⋅
2
x
(
x
2
+
1
)
3
=
x
2
+
1
⋅
(
x
2
+
1
)
-
(
1
+
x
)
⋅
3
x
(
x
2
+
1
)
3
=
x
2
+
1
⋅
x
2
+
1
-
3
x
-
3
x
2
(
x
2
+
1
)
3
=
=
-
x
2
+
1
⋅
2
x
2
+
3
x
-
1
(
x
2
+
1
)
3
;
f
"
(
x
)
=
0
→
2
x
2
+
3
x
-
1
=
0
→
x
E
F
=
-
3
±
9
+
8
4
=
-
3
±
17
4
. Due flessi.
x
E
=
-
3
+
17
4
;
f
(
-
3
+
17
4
)
=
-
3
+
17
4
-
1
(
-
3
+
17
4
)
2
+
1
=
17
-
7
42
-
6
17
Primo flesso a tangente obliqua in
E
(
-
3
+
17
4
,
17
-
7
42
-
6
17
)
⋍
E
(
0.28
,
-
0.69
)
x
F
=
-
3
-
17
4
;
f
(
-
3
-
17
4
)
=
-
3
-
17
4
-
1
(
-
3
-
17
4
)
2
+
1
=
-
17
+
7
42
+
6
17
Secondo flesso a tangente obliqua in
F
(
-
3
-
17
4
,
-
17
+
7
42
+
6
17
)
⋍
F
(
-
1.78
,
-
1.36
)
Studio del segno della derivata seconda:
f
"
(
x
)
≥
0
→
x
∈
[
-
1
,
1
2
]
→
concavità verso l'alto.
f
"
(
x
)
≥
0
→
x
∈
]
-
∞
,
-
1
]
∪
[
1
2
,
+
∞
[
→
concavità verso il basso.
Si può ricavare le equazioni delle retta tangenti.
y
E
(
x
)
=
f
'
(
x
E
)
⋅
(
x
-
x
E
)
+
y
(
x
E
)
=
1
+
-
3
+
17
4
[
(
-
3
+
17
4
)
2
+
1
]
3
⋅
(
x
-
-
3
+
17
4
)
+
17
-
7
42
-
6
17
⋍
1.143
⋅
(
x
-
0.28
)
-
0.69
y
F
(
x
)
=
f
'
(
x
F
)
⋅
(
x
-
x
F
)
+
y
(
x
F
)
=
1
+
-
3
-
17
4
[
(
-
3
-
17
4
)
2
+
1
]
3
⋅
(
x
-
-
3
-
17
4
)
-
17
+
7
42
+
6
17
⋍
-
0.0917
⋅
(
x
+
1.78
)
-
1.36
Qui di seguito il grafico finale delle funzione.