f
(
x
)
=
a
r
c
t
g
(
x
)
+
x
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
(è lo stesso campo di esistenza della funzione arctg)
Proprietà geometriche.
→
È una funzione dispari.
f
(
-
x
)
=
a
r
c
t
g
(
-
x
)
-
x
=
-
a
r
c
t
g
(
x
)
-
x
=
-
[
a
r
c
t
g
(
x
)
+
x
]
=
-
f
(
x
)
Intersezione con gli assi.
→
P
0
(
0
,
0
)
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
a
r
c
t
g
(
x
)
+
x
=
0
→
non è risolvibile analiticamente.
Intercetta.
f
(
0
)
=
0
(quindi una radice, coincidente con l'intercetta, è x=0 ).
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
a
r
c
t
g
(
x
)
+
x
≥
0
→
x
≥
0
(
a
r
c
t
g
(
x
)
≥
0
←
→
x
≥
0
)
(Non esistono altre radici da x=0)
Asintoti.
Verticale. Non esiste perchè la funzione è continua in
R
.
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
a
r
c
t
g
(
x
)
+
x
=
±
∞
. Non esistono asintoti orizzontali.
Obliqui. f'(x)=
1
1
+
x
2
+
1
=
2
+
x
2
1
+
x
2
;
l
i
m
x
→
±
∞
2
+
x
2
1
+
x
2
=
1
. Esiste un asintoto obliquo.
Coefficiente angolare:
m
=
l
i
m
x
→
±
∞
f
'
(
x
)
=
1
Intercetta:
q
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
f
(
x
)
-
f
'
(
x
)
⋅
x
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
a
r
c
t
g
(
x
)
+
x
-
2
+
x
2
1
+
x
2
⋅
x
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
a
r
c
t
g
(
x
)
+
l
i
m
x
→
±
∞
(
x
+
x
3
-
2
x
-
x
3
1
+
x
2
)
=
=
±
π
2
+
l
i
m
x
→
±
∞
-
x
1
+
x
2
=
±
π
2
. In realtà esistono due asintoti obliqui.
Equazione asintoti obliqui:
y
(
x
)
=
x
±
π
2
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
≥
0
→
2
+
x
2
1
+
x
2
≥
0
→
∀
x
∈
R
.
Dal comportamento asintotico in P(0,0) deve esserci un flesso a tangente obliqua. Non ci sono massimi o minimi relativi.
Curvature.
f
'
'
(
x
)
≥
0
→
2
x
⋅
(
1
+
x
2
)
-
(
2
+
x
2
)
⋅
2
x
(
1
+
x
2
)
2
=
2
x
+
2
x
3
-
4
x
-
2
x
3
(
1
+
x
2
)
2
=
-
2
x
(
1
+
x
2
)
2
≥
0
. Esiste un punto di flesso a tangente obliqua in x=0.
Per x<0, f'(x) <0
→
concavità verso il basso. Per x>0, f'(x)>0
→
concavità verso l'alto. È un flesso ascendente.
Si può ricavare l'equazione della retta di flesso:
y
0
(
x
)
=
f
'
(
x
0
)
⋅
(
x
-
x
0
)
+
y
(
x
0
)
=
f
'
(
0
)
⋅
(
x
-
0
)
+
y
(
0
)
=
2
x
Qui di seguito il grafico finale delle funzione.