f
(
x
)
=
x
⋅
(
x
-
1
)
2
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
Proprietà geometriche.
f
(
-
x
)
=
(
-
x
)
⋅
[
(
-
x
)
-
1
]
2
=
-
x
⋅
(
x
+
1
)
2
→
non ha particolari proprietà di simmetria
Intersezione con gli assi.
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
x
⋅
(
x
-
1
)
2
=
0
→
x
A
=
0
e
x
B
=
1
radici.
Intercetta. y=0 intercetta.
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
x
⋅
(
x
-
1
)
2
≥
0
→
x
≥
0
.
Asintoti.
Verticale. La funzione è continua in tutto
R
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
x
⋅
(
x
-
1
)
2
=
±
∞
. Non esistono asintoti orizzontali.
Obliqui.
f
'
(
x
)
=
3
x
2
-
4
x
+
1
.
l
i
m
x
→
±
∞
f
'
(
x
)
=
l
i
m
x
→
±
∞
3
x
2
-
4
x
+
1
=
±
∞
. Non esistono asintoti obliqui.
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
0
→
3
x
2
-
4
x
+
1
=
0
→
x
=
2
±
4
-
3
3
=
2
±
1
3
→
x
C
=
1
3
e
x
B
=
1
sono le ascisse di due punti stazionari.
Le ordinate sono:
y
C
=
(
1
3
)
⋅
[
(
1
3
)
-
1
]
2
=
4
27
e
y
B
=
0
(la radice)
Segno della derivata prima.
3
x
2
-
4
x
+
1
≥
0
→
x
≤
1
3
∨
x
≥
1
(crescente).
1
3
≤
x
≤
1
(decrescente).
Si intuisce subito che in
x
C
=
0
c'è un massimo relativo e in
x
B
=
1
un minimo relativo.
Curvature.
f
'
'
(
x
)
=
0
→
6
x
-
4
=
0
→
x
=
2
3
Punto di flesso D con tangente obliqua in
x
D
=
2
3
.
f
(
2
3
)
=
(
2
3
)
⋅
[
(
2
3
)
-
1
]
2
=
2
27
Studio del segno:
f
'
'
(
x
)
≥
0
←
→
x
≥
2
3
(concavità verso il l'alto).
f
'
'
(
x
)
≤
0
←
→
x
≤
2
3
(concavità verso il basso).
Si può ricavare l' equazione delle retta tangente.
y
D
(
x
)
=
f
'
(
x
D
)
⋅
(
x
-
x
D
)
+
y
(
x
D
)
=
[
3
(
2
3
)
2
-
4
(
2
3
)
+
1
]
⋅
(
x
-
2
3
)
+
2
27
=
-
1
3
⋅
(
x
-
2
3
)
+
2
27
Qui di seguito il grafico finale della funzione.