f
(
x
)
=
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
x
2
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
-
{
0
}
(discontinua in x=0).
Proprietà geometriche.
f
(
-
x
)
=
2
(
-
x
)
3
-
(
-
x
)
2
-
2
(
-
x
)
+
1
(
-
x
)
2
=
-
2
x
3
-
x
2
+
2
x
+
1
x
2
→
non ha particolari proprietà di simmetria
Intersezione con gli assi.
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
=
0
. Sviluppo di f(x):
f
(
x
)
=
2
x
⋅
(
x
2
-
1
)
-
(
x
2
-
1
)
=
(
2
x
-
1
)
⋅
(
x
2
-
1
)
=
(
2
x
-
1
)
⋅
(
x
-
1
)
⋅
(
x
+
1
)
Le soluzioni della equazione di secondo grado sono:
x
3
=
1
2
, x
2
=
1
e
x
1
=
-1
.
La funzione attraversa l'asse delle ascisse nei punti A(0,-1), B(0,½), C(0,1)
Intercetta. La funzione è discontinua in x=0.
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
x
2
≥
0
→
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
≥
0
→
(
x
-
1
)
⋅
(
x
-
1
2
)
⋅
(
x
+
1
)
≥
0
.
Si ricava (vedi grafico) :
f
(
x
)
≥
0
→
x
∈
[
-
1
,
0
[
∪
]
0
,
1
2
]
∪
[
1
,
+
∞
[
Asintoti.
Verticale. In x= 0 c'è un asintoto verticale:
l
i
m
x
→
0
+
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
x
2
=
+
∞
e
l
i
m
x
→
0
-
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
x
2
=
+
∞
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
x
2
=
±
∞
. Non esistono asintoti orizzontali.
Obliqui. f'(x)=
(
6
x
2
-
2
x
-
2
)
⋅
x
2
-
(
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
)
⋅
2
x
x
4
=
6
x
3
-
2
x
2
-
2
x
-
4
x
3
+
2
x
2
+
4
x
-
2
x
3
=
2
⋅
x
3
+
x
-
1
x
3
;
l
i
m
x
→
±
∞
2
⋅
x
3
+
x
-
1
x
3
=
2
. Esiste un asintoto obliquo.
Coefficiente angolare:
m
=
l
i
m
x
→
±
∞
f
'
(
x
)
=
2
Intercetta:
q
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
f
(
x
)
-
f
'
(
x
)
⋅
x
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
2
x
3
-
x
2
-
2
x
+
1
x
2
-
2
⋅
x
3
+
x
-
1
x
3
⋅
x
]
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
-
x
2
-
4
x
+
2
x
2
]
=
-
1
Equazione asintoto obliquo:
y
(
x
)
=
2
x
-
1
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
0
→
2
⋅
x
3
+
x
-
1
x
3
=
0
→
x
3
+
x
-
1
=
0
→
si tratta di una cubica. La soluzione può essere ricavata usando metodi numerici o, meglio, con le formule cardaniche. Qui, dall'esame delle informazioni fin qui ottenute, si può osservare che il punto stazionario deve essere un minimo situato tra x=0.5 e x=1.
Una prima approssimazione è
x
¯
1
=
x
B
+
x
C
2
=
0.5
+
1
2
=
3
4
.
Si può osservare che:
f
'
(
1
2
)
=
2
⋅
(
1
2
)
3
+
1
2
-
1
(
1
2
)
3
=
-
6
;
f
'
(
3
4
)
=
2
⋅
(
3
4
)
3
+
3
4
-
1
(
3
4
)
3
=
0.81....
;
f
'
(
1
)
=
2
⋅
(
1
)
3
+
1
-
1
(
1
)
3
=
2
Dall'esame del segno delle tre derivate il minimo relativo deve situarsi tra
x
=
1
2
e
x
=
3
4
Una seconda approssimazione è
x
¯
2
=
x
B
+
x
¯
1
2
=
1
2
+
3
4
2
=
5
8
Si può osservare che:
f
'
(
1
2
)
=
2
⋅
(
1
2
)
3
+
1
2
-
1
(
1
2
)
3
=
-
6
;
f
'
(
5
4
)
=
2
⋅
(
5
8
)
3
+
5
8
-
1
(
5
8
)
3
-
1.072
=
;
f
'
(
3
4
)
=
2
⋅
(
3
4
)
3
+
3
4
-
1
(
3
4
)
3
=
0.81...
Dall'esame del segno delle tre derivate il minimo relativo deve situarsi tra
x
=
5
2
e
x
=
3
4
Una terza approssimazione è
x
¯
3
=
x
¯
2
+
x
¯
1
2
=
5
8
+
3
4
2
=
11
16
.
Ci fermiamo a questa approssimazione.
f
(
x
¯
3
)
=
2
(
11
16
)
3
-
(
11
16
)
2
-
2
(
11
16
)
+
1
(
11
16
)
2
=
1331
2048
-
121
256
-
11
8
+
1
121
256
=
-
405
968
Curvature.
f
'
'
(
x
)
=
0
→
[
2
⋅
x
3
+
x
-
1
x
3
]
'
=
2
⋅
(
3
x
2
+
1
)
(
x
3
)
-
(
x
3
+
x
-
1
)
⋅
3
x
2
x
6
=
2
⋅
3
x
3
+
x
-
3
x
3
-
3
x
+
3
x
4
=
-
2
⋅
2
x
-
3
x
4
=
0
→
x
=
3
2
Punto di flesso D con tangente obliqua in
x
D
=
3
2
.
f
(
3
2
)
=
2
(
3
2
)
3
-
(
3
2
)
2
-
2
(
3
2
)
+
1
(
3
2
)
2
=
10
9
Studio del segno:
f
'
'
(
x
)
≤
0
←
→
x
≥
3
2
(concavità verso il basso).
f
'
'
(
x
)
≥
0
←
→
x
≤
3
2
(concavità verso l'alto).
Si può ricavare l' equazione delle retta tangente.
y
D
(
x
)
=
f
'
(
x
D
)
⋅
(
x
-
x
D
)
+
y
(
x
D
)
=
2
⋅
(
3
2
)
3
+
(
3
2
)
-
1
(
3
2
)
3
(
x
-
3
2
)
+
10
9
=
68
27
⋅
(
x
-
3
2
)
+
10
9
=
68
27
x
-
8
3
Qui di seguito il grafico finale delle funzione.