f
(
x
)
=
4
x
3
+
2
x
2
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
Proprietà geometriche.
f
(
-
x
)
=
4
(
-
x
)
3
+
2
(
-
x
)
2
=
-
4
x
3
+
2
x
2
Intersezione con gli assi.
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
x
2
⋅
(
4
x
+
2
)
=
0
→
x
B
=
0
e
x
A
=
-
1
2
radici.
Intercetta. y=0 intercetta.
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
x
2
⋅
(
4
x
+
2
)
≥
0
→
∀
x
≥
-
1
2
la funzione è positiva.
Asintoti.
Verticale. La funzione è continua in tutto
R
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
x
2
⋅
(
4
x
+
2
)
=
±
∞
. Non esistono asintoti orizzontali.
Obliqui.
f
'
(
x
)
=
12
x
2
+
4
x
.
l
i
m
x
→
±
∞
f
'
(
x
)
=
l
i
m
x
→
±
∞
12
x
2
+
4
x
=
+
∞
. Non esistono asintoti obliqui.
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
0
→
12
x
2
+
4
x
=
0
→
x
B
=
0
e
x
C
=
-
1
3
sono le ascisse di due punti stazionari.
Le ordinate sono:
y
B
=
0
e
y
C
=
4
(
-
1
3
)
3
+
2
(
-
1
3
)
2
=
-
4
27
+
2
9
=
-
4
+
6
27
=
2
27
Segno della derivata prima
12
x
2
+
4
x
≥
0
→
4
x
⋅
(
3
x
+
1
)
≥
0
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
≥
-
1
3
)
→
∀
x
≤
-
1
3
∨
x
≥
0
la funzione è crescente.
Si intuisce subito che in
x
B
=
0
c'è un minimo relativo e in
x
C
=
-
1
3
un massimo relativo.
Curvature.
f
'
'
(
x
)
=
24
x
+
4
.
f
"
(
x
)
=
0
→
24
x
+
4
=
0
→
x
D
=
-
1
6
. Ordinata:
f
(
x
D
)
=
4
(
-
1
6
)
3
+
2
(
-
1
6
)
2
=
-
1
54
+
1
18
=
-
1
+
3
54
=
1
27
Punto di flesso con tangente obliqua in
D
(
-
1
6
,
1
27
)
.
Studio del segno:
f
'
'
(
x
)
≥
0
←
→
x
≥
-
1
6
(concavità verso l'alto).
f
'
'
(
x
)
≤
0
←
→
x
≤
-
1
6
(concavità verso il basso).
Si può ricavare l' equazione delle retta tangente.
y
f
l
e
x
(
x
)
=
f
'
(
x
D
)
⋅
(
x
-
x
D
)
+
f
(
x
D
)
=
[
12
(
-
1
6
)
2
+
4
(
-
1
6
)
]
⋅
(
x
-
1
6
)
+
1
27
=
-
1
3
⋅
(
x
-
1
6
)
+
1
27
Qui di seguito il grafico finale delle funzione.