f
(
x
)
=
2
x
x
2
-
1
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
-
{
-
1
,
+
1
}
È una funzione fratta e occorre eliminare i punti che verificano
x
2
-
1
=
0
.
Le soluzioni di questa equazioni sono
x
=
±
1.
Proprietà geometriche.
→
È una funzione dipari.
f
(
-
x
)
=
2
(
-
x
)
(
-
x
)
2
-
1
=
-
2
x
x
2
-
4
=
-
f
(
x
)
Intersezione con gli assi.
→
A
(
0
,
0
)
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
2
x
x
2
-
1
=
0
→
x
=
0
Intercetta.
f
(
0
)
=
0
(radice coincidente con intercetta).
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
2
x
x
2
-
1
≥
0
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
2
-
1
>
0
)
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
<
-
1
∨
x
>
+
1
)
→
∀
x
∈
]
-
1
,
0
]
∪
]
+
1
,
+
∞
[
la funzione è positiva
Asintoti.
Verticale.
l
i
m
x
→
-
1
-
2
x
x
2
-
1
=
-
∞
l
i
m
x
→
-
1
+
2
x
x
2
-
1
=
+
∞
l
i
m
x
→
+
1
-
2
x
x
2
-
1
=
-
∞
l
i
m
x
→
+
1
+
2
x
x
2
-
1
=
+
∞
Due asintoti verticali in x=-1 e in x= +1
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
2
x
x
2
-
1
=
0
. Tutto l'asse delle ascisse asintoto orizzontale
Obliqui. Non esistono asintoti obliqui (se tutto l'asse delle ascisse è asintoto orizzontale ....)
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
d
d
x
[
2
x
x
2
-
1
]
=
2
(
x
2
-
1
)
-
x
⋅
2
x
(
x
2
-
1
)
2
=
-
2
x
2
+
1
(
x
2
-
1
)
2
. Si vede subito che non possono esserci punti stazionari.
Curvature.
f
"
(
x
)
=
d
d
x
[
-
2
x
2
+
1
(
x
2
-
1
)
2
]
=
-
2
2
x
(
x
2
-
1
)
2
-
(
x
2
+
1
)
2
⋅
(
x
2
-
1
)
⋅
2
x
(
x
2
-
1
)
4
=
-
4
x
⋅
x
2
-
1
-
2
x
2
-
2
⋅
(
x
2
-
1
)
3
=
4
x
⋅
x
2
+
3
(
x
2
-
1
)
3
La derivata seconda si annulla in x=0 . In A(0,0) flesso a tangente obliqua.
Segno della derivta seconda:
f
"
(
x
)
≥
0
→
4
x
⋅
x
2
+
3
(
x
2
-
1
)
3
≥
0
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
2
-
1
>
0
)
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
<
-
1
∨
x
>
1
)
→
∀
(
1
<
x
<
0
∨
x
>
1
)
la concavità è verso l'alto
Equazione della retta di flesso:
y
f
l
e
x
=
f
'
(
0
)
⋅
x
+
f
(
0
)
=
-
2
x
Qui di seguito il grafico dello studio delle concavità e il grafico finale delle funzione.